Решить , периметр боковой грани правильной четырехугольной призмы равен 6 см. при какой длине стороны основания ее объем наибольший?

Хорошо, давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

Для начала, давайте посмотрим, что мы знаем. В задаче говорится, что периметр боковой грани (стороны призмы) равен 6 см. Пусть сторона основания призмы будет "s" (длина стороны основания).

Объем призмы можно выразить формулой: V = S * h, где V - объем, S - площадь основания и h - высота призмы.

Мы хотим найти значение "s", при котором объем наибольший. Для этого мы должны выразить объем призмы через "s" и найти его максимальное значение.

Поскольку мы имеем правильную четырехугольную призму, основание у нее является квадратом. Поэтому площадь основания равна S = s^2.

Теперь нам нужно выразить высоту призмы через известные значения. Нам известен периметр боковой грани (6 см), а также сторона основания (s). Поскольку боковая грань призмы - это прямоугольный треугольник, его периметр можно записать как сумму сторон треугольника:

6 = s + s + h,

где первое "s" - это одна сторона основания, второй "s" - это вторая сторона основания, и "h" - это высота призмы.

Упрощая это уравнение, мы получаем:

6 = 2s + h.

Теперь мы выразили высоту призмы через известные значения "s" и периметра.

Теперь мы можем подставить выражения для S и h в формулу объема:

V = S * h = (s^2) * (2s + h).

Теперь, чтобы найти максимальное значение объема, мы должны найти максимум этой функции по переменной "s".

Для этого нам нужно взять производную функции по "s" и приравнять ее к нулю:

dV/ds = 3s^2 + 2sh = 0.

Решим это уравнение относительно "h":

2sh = -3s^2,
h = (-3s^2) / (2s),
h = (-3s) / 2.

Теперь мы можем подставить это значение "h" обратно в нашу функцию объема:

V = (s^2) * (2s + (-3s) / 2),
V = (s^2) * (4s - 3s) / 2,
V = (s^2) * (s) / 2,
V = (s^3) / 2.

Теперь нам нужно найти максимум этой функции "V". Как мы знаем из математики, максимум функции достигается, когда ее производная равна нулю.

Давайте найдем производную от функции объема:

dV/ds = (3s^2) / 2.

Приравняем ее к нулю:

(3s^2) / 2 = 0,
3s^2 = 0.

Это означает, что максимум функции достигается при s = 0. Так как в нашей задаче "s" представляет длину стороны, она не может быть равной нулю.

Поэтому, в данной задаче у нас нет максимального значения объема при заданном периметре боковой грани равном 6 см. Так как "s" может быть любым числом больше нуля.