Решить log2(x-5)+log2(x-1)< =log2(4x-11)

Dariailko Dariailko    3   31.07.2019 18:50    0

Ответы
raisaaaaaaaaaaaa raisaaaaaaaaaaaa  03.10.2020 18:53
log_2(x-5)+log_2(x-1)\leq log_2(4x-11)

ОДЗ: 
\left\{{{\left\{{{x-5\ \textgreater \ 0}\atop{x-1\ \textgreater \ 0}}\right}\atop{4x-11\ \textgreater \ 0}}\right.\left\{{{\left\{{{x\ \textgreater \ 5}\atop{x\ \textgreater \ 1}}\right}\atop{4x\ \textgreater \ 11}}\right.\left\{{{x\ \textgreater \ 5}\atop{x\ \textgreater \ \frac{11}{4}}}\right.
Конечный ОДЗ: x\ \textgreater \ 5

Переписываем изначальное неравенство, применив свойство логарифмов: 
log_2((x-5)(x-1))\leq log_2(4x-11)\\

Составляем соответствующую систему неравенств, основываясь на том, что основания логарифмов больше 1. 
\left\{{{(x-5)(x-1)\leq4x-11}\atop{(x-5)(x-1)\ \textgreater \ 0}}\right.\left\{{{x^2-6x+5\leq4x-11}\atop{x^2-6x+5\ \textgreater \ 0}}\right.\left\{{{x^2-10x+16\leq0}\atop{x^2-6x+5\ \textgreater \ 0}}\right.\\x^2-10x+16\leq0\\D=\sqrt{(-10)^2-4*1*16}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\\x_1=\frac{10+6}{2}=8\\x_2=\frac{10-6}{2}=2
x_2 не удовлетворяет ОДЗ, потому отбрасываем и решаем второе неравенство. 

x^2-6x+5\ \textgreater \ 0\\D=\sqrt{(-6)^2-4*1*5}=\sqrt{36-20}=\sqrt{16}=4\\x_1=\frac{6+4}{2}=5\\x_2=\frac{6-4}{2}=1
Оба корня не входят в ОДЗ, отбрасываем. 

Проверка: 
log_2(8-5)+log_2(8-1)\leq log_2(4*8-11)\\log_23+log_27\leq log_2(32-11)\\log_2(3*7)\leq log_221

ответ: x∈(–∞; 8]
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика