Решить коши y''-2y'+y=sinx; y(0)=0 , y'(0)=1

Решение: Решаем линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

 y''-2y'+y=0 (*)

Пишем характеристическое уравнение t^2-t-1=0, решаем его:

D=1^2+4*1=5

t1=(1+корень(5)) \2

t2=(1-корень(5)) \2

Характерисическое решение имеет два корня =(1+корень(5)) \2 кратности 1 и (1-корень(5)) \2 кратности 1, поэтому общее решения уравнения (*) имеет вид:

y=c1 * e^((1+корень(5)) \2)*x )  + c2* e^((1-корень(5)) \2)*x )  .

Правая часть исходного уравнения имеет вид sinx, гамма равно альфа+бэта*i=1 – (1 не есть корнем характеристического уравнения) , поэтому частное решение уравнения

 y''-2y'+y=sinx (**) ищем методом неопределенных коэффициентов в виде

y=c*cos x+d*sinx

y’=-c*sin x+ d*cos x

y’’=-c*cos x-d*sin x. Подставляем функцию и ее производные в (**), получим

-c*cos x-d*sin x-2*(-c*sin x+ d*cos x)+ c*cos x+d*sinx= sinx, или после приведения подобных членов:

2с*sin x-2d*cos x=sin x. Приравниваем соответствующие коэффициенты получаем систему:

2с=1

-2d=0

Откуда c=1\2,d=0.

Таким образом частное решение имеет вид:

y=1\2*cos x.

Общее решение исходного уравенения имеет вид y=c1 * e^((1+корень(5)) \2)*x )  + c2* e^((1-корень(5)) \2)*x )+ 1\2*cos x.

(производная равна y'=c1*((1+корень(5)) \2) * e^((1+корень(5)) \2)*x )  + c2*((1-корень(5)) \2)* e^((1-корень(5)) \2)*x )-1\2*sin x.)

Используя условия y(0)=0 ,    y'(0)=1, щем решение задачи Коши:

0=с1* e^((1+корень(5)) \2)*0 )  + c2* e^((1-корень(5)) \2)*0 )+ 1\2*cos 0=с1+с2+1\2.

1= c1*((1+корень(5)) \2) * e^((1+корень(5)) \2)*0 )  + c2*((1-корень(5)) \2)* e^((1-корень(5)) \2)*0 )-1\2*sin 0= c1*((1+корень(5)) \2)+ c2*((1-корень(5)) \2).

0= с1+с2+1\2.

1= c1*((1+корень(5)) \2)+ c2*((1-корень(5)) \2).

c1=-1\2-c2

1=(-1\2-c2)*((1+корень(5)) \2)+ c2*((1-корень(5)) \2)= (-1-корень(5)) \4+c2*((-1-корень(5)) \2)+(1-корень(5)) \2)= (-1-корень(5)) \4-c2*корень(5).

c2=(-5-5*корень(5))\4*корень(5)\5=(-1-корень(5))\4

с1=-1\2-c2=(-1+корень(5))\20. Таким образом решением задачи Коши есть функция

y= ((-1+корень(5))\4) * e^((1-корень(5)) \2)*x )  + (-1-корень(5))\4)* e^((1-корень(5)) \2)*x )

+ 1\2*cos x.

ответ: y= ((-1+корень(5))\4) * e^((1-корень(5)) \2)*x )  + (-1-корень(5))\4)* e^((1-корень(5)) \2)*x )

+ 1\2*cos x.