Математика: Решить две задачи (во вложении). Подробно

Решить две задачи (во вложении). Подробно

Ответы

Лина14881 18.08.2021 18:05

(1; -6) и (5; 2)

_______________

a = 7 / √5; (2,8; 1,4)

Пошаговое объяснение:

Преобразуем уравнение окружности так, чтобы оно приняло стандартный вид (x-b)²+(y-c)² = R², где (b, c) — координаты центра окружности, R — ее радиус:

x²+y²-6x+4y = 7

(x²-2·3x+3²)+(y²+2·2y+2²) = 7+3²+2²

(x-3)²+(y+2)² = 20

Получили, что прямая y = 2x+4a проходит через точку (3; -2). Подставим эти координаты в уравнение и найдем отсюда a:

-2 = 2·3+4a

-2 = 6+4a

4a = -8

a = -2

Стало быть, прямая задана уравнением y = 2x-8.

Координаты точек пересечения прямой и окружности удовлетворяют уравнению как прямой, так и окружности. Оставшиеся действия состоят в решении системы:

$\begin{cases} y=2x-8\\x^2+y^2-6x+4y=7 \end{cases}\\\begin{cases} y=2x-8\\x^2+(2x-8)^2-6x+4(2x-8)=7 \end{cases}\\\begin{cases} y=2x-8\\x^2+4x^2-32x+64-6x+8x-32-7=0 \end{cases}\\\begin{cases} y=2x-8\\5x^2-30x+25=0 \end{cases}\\\begin{cases} y=2x-8\\x^2-6x+5=0 \end{cases}$

x²-6x+5 = 0. По теореме Виета:

$\begin{cases} x_1+x_2=6\\x_1*x_2=5 \end{cases}\\\begin{cases} x_1=1\\x_2=5 \end{cases}$

Если x = 1, то y = 2·1-8 = -6

Если x = 5, то y = 2·5-8 = 2

Итак, заданные прямая и окружность пересекаются в двух точках: (1; -6) и (5; 2).

_______________________________

Если окружность касается прямой, то эти фигуры имеют только одну общую точку. Соответственно, и система из уравнений окружности и прямой имеет единственную пару решений.

$\begin{cases} 2x+y=7\\x^2+y^2=a^2 \end{cases}\\\begin{cases} y=7-2x\\x^2+(7-2x)^2-a^2=0 \end{cases}\\\begin{cases} y=7-2x\\x^2+49-28x+4x^2-a^2=0 \end{cases}\\\begin{cases} y=7-2x\\5x^2-28x+(49-a^2)=0 \end{cases}$

Эта система будет иметь единственную пару решений только в том случае, когда квадратное уравнение 5x²-28x+(49-a²) = 0 будет иметь единственный корень. То есть когда его дискриминант будет равен нулю.

D = b²-4ac = (-28)²-4·5·(49-a²) = 784-980+20a² = 20a²-196

D = 0 ⇒ 20a²-196 = 0, 20a² = 196, a² = 196/20, a = 14 / √20 = 7 / √5 (отрицательный корень не учитываем, так как a здесь обозначает радиус, а он, естественно, положительный)

Стало быть, лишь при одном значении параметра окружность касается прямой. Найдем координату точки касания (подставим найденное значение a):

$\begin{cases} y=7-2x\\5x^2-28x+(49-\frac{49}{5})=0 \; |*5\end{cases}\\\begin{cases} y=7-2x\\25x^2-140x+245-49=0 \end{cases}\\\begin{cases} y=7-2x\\25x^2-140x+196=0 \end{cases}$