Математика: Решить диффуры: 4x^2*y = 4x^2+y^2

Поделив обе части уравнения на , получим Данное дифференциальное уравнение является однородным, введем замену: Тогда по правилу дифференцирования произведения . Подставляя замену в уравнение, получим: Проинтегрируем обе части уравнения, получим Вернувшись к замене, получим Нашли это общий интеграл, но можем выразить в явный вид: ...

Решить диффуры: 4x^2*y' = 4x^2+y^2

Ответы

kristina25l 06.10.2020 15:17

Поделив обе части уравнения на x^2

, получим
$4y'=4+ \dfrac{y^2}{x^2}$
Данное дифференциальное уравнение является однородным, введем замену:
y=ux

Тогда по правилу дифференцирования произведения y'=u'x+u

. Подставляя замену в уравнение, получим:
$4(u'x+u)=4+u^2\\ 4xu'=u^2-4u+4\\ 4x \dfrac{du}{dx}=(u-2)^2\\\\ \dfrac{du}{(u-2)^2} = \dfrac{dx}{4x}$
Проинтегрируем обе части уравнения, получим
$\displaystyle \int\limits\dfrac{du}{(u-2)^2} = \int\limits \frac{dx}{4x}\Rightarrow\,\, - \frac{1}{u-2} = \frac{1}{4} \ln|x|+\ln C$
$1=(2-u)\ln\bigg(C\times \sqrt[4]{|x|} \bigg)$
Вернувшись к замене, получим
$\displaystyle1=\bigg(2- \frac{y}{x} \bigg)\ln \bigg(C\times \sqrt[4]{|x|}\bigg)\Rightarrow\,\, x=(2x-y)\ln\bigg(C\times \sqrt[4]{|x|}\bigg)$
Нашли это общий интеграл, но можем выразить в явный вид:
$y\ln\bigg(C \times\sqrt[4]{|x|} \bigg)=2x\ln\bigg(C\times \sqrt[4]{|x|} \bigg)-x$
$y= \dfrac{2x\ln\bigg(C\times\sqrt[4]{|x|} \bigg)-x}{\ln\bigg(C\times \sqrt[4]{|x|} \bigg)} \Rightarrow\,\, y=2x- \dfrac{x}{\ln\bigg(C\times \sqrt[4]{|x|} \bigg)} .$

ответ $y=2x- \dfrac{x}{\ln\bigg(C\times \sqrt[4]{|x|} \bigg)} .$