1. Математика
  2. решить дифференциальное уравнение

решить дифференциальное уравнение y^2dx=(xy-x^2)dy
это однородное диф ур-е. т. е с заменой y=u*x и y'=u'x+u

umka2345 umka2345    2   14.11.2020 20:43    1

Ответы
Хачачуля Хачачуля  14.12.2020 20:45

решение на фотографии


решить дифференциальное уравнение y^2dx=(xy-x^2)dy это однородное диф ур-е. т. е с заменой y=u*x и y
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Darya4567 Darya4567  14.12.2020 20:45

y^{2} \, dx = (xy - x^{2})\, dy ~~~ \Big| \cdot \dfrac{1}{(xy - x^{2})\, dx}

\dfrac{y^{2}}{xy - x^{2}} = \dfrac{dy}{dx}

y' = \dfrac{y^{2}}{xy - x^{2}}

Пусть f(x;~y) = \dfrac{y^{2}}{xy - x^{2}}. Тогда f(\lambda x;~\lambda y) = \dfrac{(\lambda y)^{2}}{\lambda x\lambda y - (\lambda x)^{2}} = \dfrac{\lambda^{2}y^{2}}{\lambda^{2}xy - \lambda^{2}x^{2}} =

=\dfrac{\lambda^{2} y^{2}}{\lambda^{2}(xy - x^{2})} =\lambda^{0}\dfrac{y^{2}}{xy - x^{2}}= \lambda^{0}f(x; ~ y).

Имеем дифференциальное уравнение, однородное относительно переменных.

Подстановка: y = ux, ~ y' = u'x + u, где u = u(x)

Имеем:

u'x + u = \dfrac{(ux)^{2}}{x\cdot ux - x^{2}}

u'x + u = \dfrac{u^{2}x^{2}}{ux^{2} - x^{2}}

u'x + u = \dfrac{u^{2}x^{2}}{x^{2}(u - 1)}

u'x = \dfrac{u^{2}}{u - 1} - u

u'x = \dfrac{u^{2} - u(u-1)}{u - 1}

u'x = \dfrac{u^{2} - u^{2} + u}{u - 1}

\dfrac{du}{dx} \cdot x = \dfrac{u}{u - 1} ~~~ \Big| \cdot \dfrac{dx}{x} \cdot \dfrac{u-1}{u}

\dfrac{u-1}{u}\,du = \dfrac{dx}{x}

\displaystyle \int \dfrac{u-1}{u}\,du = \int \dfrac{dx}{x}

\displaystyle \int \left(1 - \frac{1}{u} \right)\,du = \int \frac{dx}{x}

u - \ln |u| = \ln |x| + C

Обратная подстановка:

\dfrac{y}{x} - \ln \left|\dfrac{y}{x} \right| = \ln |x| + C

C = \ln \left|\dfrac{y}{x} \right| + \ln |x| - \dfrac{y}{x}

C = \ln \left|\dfrac{y}{x} \cdot x \right| - \dfrac{y}{x}

C = \ln \left|y\right| - \dfrac{y}{x}

ответ: C = \ln \left|y\right| - \dfrac{y}{x}

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
danilaandriyanov danilaandriyanov  22.02.2021 11:18
Для смены экипажа нефтедобывающей платформы используют вертолёт в котором 10 посадочных мест. Вертолёт делает рельсы только с полной загрузкой, когда это возможно....
Beario Beario  22.02.2021 11:18
Складіть числовий вираз і обчисліть його визначиння: 1.до суми чисел -18,4 і 3,16 додати число 12,472.до числа 4цілих 1/3 додати суму чисел - 2цілих 2/4 і 3цілих...
Ididhhxj Ididhhxj  22.02.2021 11:18
Периметр прямоугольного треугольника равен 56 см, одна его сторона равна 24 см, а другая равна 25 см. Выбери цвет,который соответствует его площади.​...
Renatka96 Renatka96  22.02.2021 11:18
найди все примеры с одинаковым остатком...
Ленка111545 Ленка111545  22.02.2021 11:18
3. Практическая работа. 2)|3+284) 2-5x | 221) 10-153) 3x+5 205) 74x 112) [15-х 184) 14+3x | 256) | ox-5 | 212)|0,8=*| 0.24) | 4xls​...
Камилла200504 Камилла200504  22.02.2021 11:17
Найди наибольшее целое решение неравенства: 4 2|x – 5| – 3 ≤ 6....
JackDead JackDead  22.02.2021 11:17
1 Упрости выражение (а+ 1)(а – 1)(а^2 + 1) – (9 - а^2)^2 и найди его значение при а=1/3ответ:...​...
r2973548 r2973548  22.02.2021 11:17
2 Вычисли. 234512 21+45 456735+(5-( 92 + 2) - 2810925016 63+250 250571903219012)190203 190+300 300150)300​...
medinskiu05 medinskiu05  22.02.2021 11:17
Два робiтники за 12 год обкопали 48 дерев. Скiльки дерев обкопаэ один робiтник за 17 год роботи...
Дентсик901 Дентсик901  22.02.2021 11:16
ребят вычесли с проверкой записывая действие столбиком (уголком) 99:382:266:688:4...

Популярные вопросы