Решить дифференциальное уравнение по условию

chinenko88 chinenko88    1   28.11.2019 14:42    0

Ответы
Viktoria727 Viktoria727  10.10.2020 16:46

Найдите уравнение кривой, проходящей через точку M(2,5) и обладающей свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

По геометрическому смыслу производной

y'={\rm tg}\alpha=k

Пусть точка касания имеет координаты (x;y), тогда касательная отсекает на осях отрезки 2х и 2у. Угловой коэффициент касательной равен -y/x. Имеем дифференциальное уравнение: y'=-\dfrac{y}{x} с начальным условием y(2)=5

Данное дифференциальное уравнение y'=-\dfrac{y}{x} является уравнением с разделяющимися переменными.

\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{x}~~~\Leftrightarrow~~~\displaystyle \int \dfrac{dy}{y}=-\int \dfrac{dx}{x}~~~\Leftrightarrow~~~ \ln|y|=-\ln |x|+\ln C\\ \\ \ln|y|=\ln\left|\frac{C}{x}\right|\\ \\ \\ y=\dfrac{C}{x}

Подставляя начальное условие, мы найдем константу C

5=\dfrac{C}{2}~~~~\Rightarrow~~~ C=10

Искомое уравнение кривой: y=\dfrac{10}{x}

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика