Решить дифференциальное уравнение
на фото

ответ: u(x,y)=x*f[(y-x²)/x], где f - произвольная дифференцируемая функция.

Пошаговое объяснение:

(За неимением возможности писать частные производные через "круглые" d буду писать их через "прямые" d и брать в скобки: например, (du/dx).

Введём функцию F(x,y,u)=0. Тогда и её полный дифференциал dF=0. Но dF=(dF/dx)*dx+(dF/dy)*dy+(dF/du)*du. Отсюда полный дифференциал du искомой функции u запишется так: du=-(dF/dx)/(dF/du)-(dF/dy)/(dF/du). Но с другой стороны, du=(du/dx)*dx+(du/dy)*dy. Отсюда (du/dx)=-(dF/dx)/(dF/du), (du/dy)=-(dF/dy)/(dF/du). Умножая обе части уравнения на -(dF/du) и перенося затем член -u*(dF/du) в левую часть, получим уравнение относительно F(x,y,u): x*(dF/dx)+(y+x²)*(dF/dy)+u*(dF/du)=0. Составляем характеристические уравнения: dx/x=dy/(y+x²)=du/u. Решим сначала уравнение dx/x=dy/(x+y²), или равносильное ему уравнение dy/dx-y/x-x=0. Это - обыкновенное ЛДУ 1 порядка, оно имеет решение y=x²+C1*x, где C1 - произвольная постоянная. Отсюда C1=(y-x²)/x. Теперь решим уравнение dx/x=du/u. Оно имеет решение u=C2*x, где C2 - произвольная, но не равная нулю, постоянная. Теперь запишем решение уравнения F(x,y,u)=0 в виде F(C1,C2)=F[(y-x²)/x; u/x]=0. Отсюда u/x=f[(y-x²)/x], где f - некоторая дифференцируемая функция. Тогда u(x,y)=x*f[(y-x²)/x].  

Проверка: (du/dx)=f-f'*[(x²+y)/x], x*(du/dx)=x*f-x²*f'-y*f', (du/dy)=x*f'*1/x=f', (y+x²)*(du/dy)=y*f'+x²*f', x*(du/dx)+(y+x²)*(du/dy)=x*f=u - значит, решение найдено верно.