Решить дифференциальное уравнение dy=(2x^2-5)dx и найти его частное решение,удовлетворяющее условиям: при x=1 y=-4.

Для решения данного дифференциального уравнения, мы будем использовать метод разделяющихся переменных.

1. Начнем с записи дифференциального уравнения в общем виде:

dy = (2x^2 - 5)dx

2. Распределите dx и dy в левую и правую части уравнения соответственно:

dy = 2x^2 - 5 dx

3. Теперь, чтобы разделить переменные, перенесите dx в правую часть уравнения:

dy = (2x^2 - 5) dx

dy/(2x^2 - 5) = dx

4. Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения:

∫(dy/(2x^2 - 5)) = ∫dx

5. Получили интеграл левой части уравнения:

∫(dy/(2x^2 - 5))

Для решения этого интеграла, давайте сделаем замену переменной, чтобы упростить выражение. Пусть u = 2x^2 - 5, тогда du = 4x dx.

6. Подставим замену переменной в интеграл:

∫(dy/u) = ∫(1/u)dy = ∫(1/u)du

7. Интегрируем правую часть уравнения:

∫(1/u)du = ln|u| + C1

8. Теперь, найдем значение левой части интеграла:

∫(dy/u) = ∫(1/u)dy = ∫(1/u)dy = ln|u| + C2

9. Вычислим константы интегрирования C1 и C2, используя начальные условия. При x=1, y=-4. Мы знаем, что при x=1, y=-4, значит мы должны подставить эти значения в уравнение и решить его.

10. Подставим начальные условия в уравнение и найдем константы интегрирования:

∫(dy/u) = ln|u| + C2
ln|2(1)^2 - 5| + C2 = -4

Вычисляем его:
ln|-3| + C2 = -4
ln(3) + C2 = -4

Решим уравнение относительно C2:
C2 = -4 - ln(3)

11. Возвращаясь к шагу 7, заменим u обратно на 2x^2 - 5:

ln|2x^2 - 5| + C1 = ln|2(1)^2 - 5| + C2

Вычисляем его:
ln|2x^2 - 5| + C1 = ln(3) + C2

12. Теперь мы имеем общее решение уравнения. Частное решение может быть получено, подставив начальные условия в общее решение.

При x=1, y=-4:

ln|2(1)^2 - 5| + C1 = ln(3) + C2

ln|-3| + C1 = ln(3) + C2

Эту часть отдельно решать не нужно, так как мы получим только общее решение, из которого выберем для частного решения значение по начальному условию при x=1, y=-4.