1. Математика
  2. решить дифференциальное

решить дифференциальное уравнение


решить дифференциальное уравнение

krivoruchenkoev krivoruchenkoev    2   27.05.2021 07:41    0

Ответы
2002КетринПирс2002 2002КетринПирс2002  26.06.2021 07:42

y'' + 4y '+ 5y = 3 {e}^{ - 2x} + 5 \sin(x)

1. ОЛДУ:

y'' + 4y' + 5y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ k {}^{2} + 4 k + 5 = 0 \\ D = 16 - 20 = - 4\\ k_1 = \frac{ - 4 + 2i}{2} = - 2 + i \\ k_2 = - 2 - i \\ \\ y = e {}^{ - 2x}( C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x) )

2. Подбираем у с неопределенными коэффициентми

у = ae {}^{ - 2x} + b \sin(x) + c \cos(x)

у' = - 2ae {}^{ - 2x} + b \cos(x) - c \sin(x) \\

у''= 4ae {}^{ - 2x} - b \sin(x) - c \cos(x)

В НЛДУ:

4ae {}^{ - 2x} - b\sin(x) - c \cos(x) - 8ae {}^{ - 2x} + 4b \cos(x) - 4c \sin(x) + \\ + 5ae {}^{ - 2x} + 5b \sin(x) + 5c \cos(x) = 3 {e}^{ - 2x} + 5 \sin(x) \\ \\ ae {}^{ - 2x} + (4b - 4c) \sin(x) + (4c + 4b) \cos(x) = 3 {e}^{ - 2x} + 5 \sin(x) \\ \\ a = 3 \\4 b - 4c = 5\\4 c + 4b = 0 \\ \\ a = 3 \\ b = \frac{1}{8} \\ c = - \frac{1}{8}

Получаем

у = 3 {e}^{ - 2x} + \frac{1}{8} \sin(x) - \frac{1}{8} \cos(x) \\

Общее решение:

y = {e}^{ - 2x} (C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x) ) + 3 {e}^{ - 2x} + \frac{1}{8} \sin(x) - \frac{1}{8} \cos(x) \\

y(0) = - 1,y'(0) = 0

y '= - 2 {e}^{ - 2x} (C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x) ) + {e}^{ - 2x}( C_1 \cos(x) - C_2 \sin(x) ) - \\ - 6 {e}^{ - 2x} + \frac{1}{8} \cos(x) + \frac{1}{8} \sin(x) = \\ \\ = {e}^{ - 2x} (( - 2C_1 - C_2) \sin(x) + ( - 2C_2 + C_1) \cos(x)) - 6 {e}^{ - 2x} + \frac{1}{8} \cos(x) + \frac{1}{8} \sin(x)

- 1 = C_2 + 3 - \frac{1}{8 } \\ 0 = C_1 - 2C_2 - 6 + \frac{1}{8} \\ \\ C_2 = - 4 + \frac{1}{8} = - \frac{31}{8} \\ C_1 = - \frac{15}{8}

Частное решение

y = {e}^{ - 2x} ( - \frac{15}{8} \sin(x) - \frac{31}{8} \cos(x) ) + 3 {e}^{ - 2x} + \frac{1}{8} \sin(x) - \frac{1}{8} \cos(x) \\

y = - {e}^{ - 2x} ( \frac{15}{8} \sin(x) + \frac{31}{8} \cos(x) ) + 3 {e}^{ - 2x} + \frac{1}{8} \sin(x) - \frac{1}{ 8} \cos(x) \\

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
MoNsTeR221 MoNsTeR221  19.09.2019 23:50
Икс квадрат плюс икс минус 42 равно 0...
almightybarbara almightybarbara  19.09.2019 23:50
Периметр прямоугольника 16,6 см а длина 4 целых 1/2 см. найдите площадь прямоугольника...
vikacat12345 vikacat12345  19.09.2019 23:50
На двух подносах 32 стакана с соком, поровну на каждом. сколько стаканов с соком на трёх таких подносах. решение и !...
nnhfgg nnhfgg  19.09.2019 23:50
Автомобиль и мотоцикл выехали одновременно в противоположных направлениях из одного города скорость автомобиля 80км\ч мотоциклиста на 10 км/ч меньше какое растояние будет...
myrzik5293p081ps myrzik5293p081ps  19.09.2019 23:50
1. с какими землями граничил урал на западе, в средневековье?...
DarinaKim1 DarinaKim1  19.09.2019 23:50
Не выполняя вычислений, определи,сколько цифр может быть в каждой записи делителя 7248: ровно 1812 62725: ровно 12545 62725: ровно 2509 4728: ровно 394 87048: ровно 125...
iPadmaksi123 iPadmaksi123  19.09.2019 23:50
Минус пять икс квадрат плюс 23 икс плюс 10 равно 0...
Roni13372155 Roni13372155  19.09.2019 23:50
Теплоход шёл по озеру 3 часа со скоростью 27 км ч а потом 4 ч по реке в это озеро найдите весь путь который теплоход за эти 7 часов если скорость течения реки 3 км ч...
лаура1446 лаура1446  19.09.2019 23:50
Расстояние между двумя пристанями по озеру равно 36 км. если моторная лодка увеличит скорость на 3 км/ч, то за 3 ч она проплывет более 36 км. если же уменьшит на 2 км/ч,...
Сирунс Сирунс  19.09.2019 23:50
Под какой процент надо положить 1000 рублей чтобы через 5 лет получить 2000 рублей?...

Популярные вопросы