Решить |cosx - 1\4| = 8 cos^2x\2-5 на отрезке -pi; pi

Добро пожаловать в урок математики! Давайте решим данный математический вопрос пошагово.

Начнем с упрощения левой части уравнения. Заметим, что |cosx - 1/4| - это модуль разности двух выражений. Значение модуля всегда неотрицательно, поэтому мы можем убрать модуль, просто заменив его на аргумент внутри модуля.

Таким образом, у нас остается два случая:

1. cosx - 1/4 = 8cos^2x/2 - 5
2. -(cosx - 1/4) = 8cos^2x/2 - 5

Давайте решим каждый из них по очереди.

1. Распишем правую часть уравнения и приведем его к квадратному виду:
cosx - 1/4 = 4cos^2x - 5
0 = 4cos^2x - cosx - 21/4

Мы получили квадратное уравнение относительно cosx. Давайте решим его с помощью дискриминанта.

a = 4, b = -1, c = -21/4
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4*4*(-21/4) = 1 + 21 = 22

Теперь найдем корни уравнения cosx:
cosx = (-b ± √D) / 2a
cosx = (1 ± √22) / 8

2. Теперь решим второй случай:
-(cosx - 1/4) = 8cos^2x/2 - 5
0 = 8cos^2x - cosx - 21/4

Мы снова получили квадратное уравнение относительно cosx. Решим его с помощью дискриминанта.

a = 8, b = -1, c = -21/4
D = (-1)^2 - 4*8*(-21/4) = 1 + 84/4 = 22

Теперь найдем корни уравнения cosx:
cosx = (-b ± √D) / 2a
cosx = (1 ± √22) / 16

Итак, мы нашли значения cosx в обоих случаях. Но наше уравнение определено на отрезке (-π, π), поэтому нам нужно проверить, лежат ли найденные значения cosx в этом диапазоне.

Цель состоит в том, чтобы найти все значения x, для которых наше уравнение выполняется.

Теперь давайте рассмотрим каждый случай по отдельности и проверим его:

1. Для первого случая, где cosx = (1 ± √22) / 8, проверим, попадает ли значение в отрезок (-π, π).
(-π < (1 ± √22) / 8 < π)

2. Аналогично, для второго случая, где cosx = (1 ± √22) / 16, проверим, попадает ли значение в отрезок (-π, π).
(-π < (1 ± √22) / 16 < π)

После проведения проверки можно найти значения x, для которых наше уравнение выполняется.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять решение данного математического вопроса! Если у вас есть еще вопросы или вам нужны пояснения, не стесняйтесь задавать их.