Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. найдите гипотенузу c треугольника.

Question

Математика: Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. найдите гипотенузу c треугольника.

PRO11116 · Answer

Есть несколько вариантов решения этой задачи.

1) Воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в треугольник: r = 2S/(a+b+c)

где a, b, c – стороны треугольника

S – площадь треугольника

Нам неизвестны ни стороны треугольника, ни его площадь. Обозначим катеты как х, тогда гипотенуза будет равна: x√2.

А площадь треугольника будет равна 0,5х².

Значит 2 = (2*0.5x²)/(x+x+x√2) = x²/(x(2+√2)) = x/(2+√2).

Сторона х = 4+2√2.

Таким образом, гипотенуза будет равна: с = (4+2√2)*√2 =

= 4+4√2 = 4(1+√2).

Можно выразить так: с ≈ 4(1+1,414214) ≈ 9,656854.

2) Так как центр вписанной окружности лежит на биссектрисе острого угла, то с = 2*r/(tg(45/2).

tg(45/2) можно взять из таблиц или выразить так:

$tg \frac{45}{2} = \sqrt{ \frac{1-cos45}{1+cos45} }$ .

Результат тот же: с ≈ 9,656854.