Пусть x,y – натуральные числа. известно, что произведение xy^2 = 163683828. на какую максимальную степень тройки может делиться x^2+y^2?

8

Пошаговое объяснение:

x*y^2 = 163683828 = 2^2*3^12*77

Ясно, что y^2 равен какой-то степени 3.

Чтобы x^2 + y^2 было кратно степени 3, x^2 тоже должно быть кратно степени 3.

Я бы взял так, чтобы у х^2 и у^2 степени 3 были равны. Варианты:

1) y^2 = 3^8, x = 2^2*77*3^4, тогда x^2 = 2^4*77^2*3^8, отсюда

x^2 + y^2 = 2^4*77^2*3^8 + 3^8 = 3^8*(16*5929 + 1) = 3^8*94865

Степень тройки равна 8, так как 94865 на 3 не делится.

2) y^2 = 2^2*3^8, x = 77*3^4, тогда x^2 = 77^2*3^8, отсюда

x^2 + y^2 = 77^2*3^8 + 2^2*3^8 = 3^8*(5929 + 4) = 3^8*5933

Степень тройки опять равна 8, потому что 5933 на 3 не делится.

Других вариантов нет.