Пусть f - многочлен, а F - множество решений уравнения f(x) = х - совпадает с множеством решений уравнения f(f(x)) = x.
Покажите, что множество решений уравнения f(f(...(x)...)) совпадает с F.

Katya124354 Katya124354    2   15.02.2020 19:17    1

Ответы
nastyacassie nastyacassie  11.10.2020 05:11

Пусть f_{n}(x) означает f(f(...(x)...)), где f применена n раз.

Поскольку f многочлен, то у него есть значение в любой точке. (*)

Докажем утверждение по индукции.

База: n=1 - это то, что дано по условию.

Переход:

Пусть для некоторого n=k верно; Докажем, что из этого следует справедливость утверждения и для n=k+1; Действительно, по предположению индукции множество решений уравнения f_{k}(x)=x совпадает с F; Возьмем f от обеих частей (благодаря (*) мы можем это сделать): f(f_{k}(x))=f_{k+1}(x)=f(x); Но если сделать замену f(x)=u, получим f_{k}(u)=u; А множество решений этого уравнения лежит в F; Предположим, что есть некоторый элемент y\in F, такой, что для него не найдется x, чтобы f(x)=y; Тогда f_{k}(y)\neq y, но y лежит в F, противоречие. Это завершает переход.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика