Пусть два положительных числа x и y таковы, что xy=750, а x+10y минимально. Чему равна целая часть числа x?

Добрый день!

Для решения этой задачи нам потребуется метод нахождения минимального значения выражения с несколькими переменными. Давайте разберемся с этим пошагово.

1. Для начала определим саму задачу. У нас есть два положительных числа x и y. Условия задачи говорят нам, что произведение чисел x и y равно 750, то есть xy = 750. Мы должны найти такие числа x и y, чтобы значение выражения x + 10y было минимальным.

2. Нам неизвестны конкретные значения x и y, поэтому попробуем найти зависимость между этими переменными. Допустим, мы хотим увеличить значение x при фиксированном значении y. Если мы увеличим x, то xy также увеличится, что означает, что произведение чисел будет больше 750. Аналогично, если мы уменьшим x, то произведение чисел будет меньше 750.

Таким образом, чтобы получить минимальное значение x + 10y, нам следует уменьшить x, чтобы компенсировать его влияние на выражение x + 10y.

3. Давайте выразим одну переменную через другую. Используем уравнение xy = 750 и выразим x через y: x = 750 / y.

4. Теперь мы можем заменить x в выражении x + 10y на 750 / y + 10y и упростить его.

x + 10y = (750 / y) + 10y

5. Приведем общий знаменатель:

x + 10y = 750 / y + 10y * (y / y).

6. Упростим выражение:

x + 10y = (750 + 10y^2) / y.

7. Получили упрощенное выражение для x + 10y. Теперь нам нужно найти минимальное значение этого выражения. Это возможно, приравняв производную выражения к нулю и найдя значение y, при котором это происходит.

8. Найдем производную выражения (750 + 10y^2) / y по переменной y. Для этого используем правило дифференцирования частного функций.

(x / y)' = (750 + 10y^2)' / y - (750 + 10y^2) / y^2.

9. Упростим производную:

(x / y)' = (10y^2)' / y - (750 + 10y^2) / y^2 = (20y) / y - (750 + 10y^2) / y^2.

10. Приравняем полученное выражение к нулю и решим уравнение:

(20y) / y - (750 + 10y^2) / y^2 = 0.

20 - (750 + 10y^2) / y^2 = 0.

20y^2 - (750 + 10y^2) = 0.

20y^2 - 750 - 10y^2 = 0.

10y^2 - 750 = 0.

y^2 - 75 = 0.

11. Решим это уравнение для y:

y^2 = 75.

y = sqrt(75).

y = sqrt(25 * 3).

y = 5 * sqrt(3).

12. Теперь, чтобы найти значение x, подставим найденное значение y в уравнение x = 750 / y:

x = 750 / (5 * sqrt(3)).

x = 150 / sqrt(3).

13. У нас есть два значения: y = 5 * sqrt(3) и x = 150 / sqrt(3). Однако, по условию задачи, x и y должны быть положительными числами.

14. Что же делать в этом случае? Обратите внимание, что x = 150 / sqrt(3) можно записать как:

x = 150 * sqrt(3) / (sqrt(3))^2.

x = 150 * sqrt(3) / 3.

x = 50 * sqrt(3).

15. Заметим, что y = 5 * sqrt(3) < x = 50 * sqrt(3). То есть y меньше, чем x.

16. Теперь мы можем записать соотношение: x = 50 * sqrt(3) = 10 * (5 * sqrt(3)) = 10 * y.

17. Учитывая это, выражение x + 10y превращается в 10y + 10y = 20y.

18. Таким образом, минимальное значение выражения x + 10y будет достигнуто, когда x = 10y.

19. Подставляем это значение в уравнение xy = 750:

10y * y = 750.

10y^2 = 750.

y^2 = 75.

y = sqrt(75).

y = sqrt(25 * 3).

y = 5 * sqrt(3).

20. Подставляем найденное значение y обратно в x = 10y:

x = 10 * (5 * sqrt(3)).

x = 50 * sqrt(3).

21. Наконец, находим целую часть числа x. Для этого округляем вниз до ближайшего целого числа:

x = 50 * sqrt(3).

x ≈ 50 * 1.732 ≈ 86.6.

Целая часть числа x равна 86.

Таким образом, целая часть числа x равна 86.