Прямоугольный треугольник с площадью 216 вписана окружность .
зная что в точке касания гипотенуза делится в отношении 2: 3
найдите её длину​

Привет! Давай разберем эту задачу вместе.

Так как треугольник прямоугольный, у него есть гипотенуза (самая длинная сторона, напротив прямого угла) и два катета (другие две стороны). Обозначим гипотенузу как c, а катеты как a и b.

Мы знаем, что площадь треугольника равна 216. Формула для площади прямоугольного треугольника: A = (a*b)/2. Подставим известные значения: 216 = (a*b)/2.

Также нам дано, что в точке касания окружности с гипотенузой, она делится в отношении 2:3. Это означает, что от точки касания до ее пересечения с гипотенузой есть участок длиной 2x, а от пересечения до конца гипотенузы - участок длиной 3x. Здесь x - некоторое число, которое нам нужно найти.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, мы можем написать следующее уравнение: a^2 + b^2 = c^2.

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a, b и c). Давай решим эти уравнения пошагово.

1. Решим уравнение для площади:
216 = (a*b)/2
Перемножим обе стороны на 2:
432 = a*b

2. Найдем выражение для b через a:
Так как c делится гипотенуза в отношении 2:3, мы можем выразить b через a следующим образом:
b = (3/2)*a

3. Подставим это в уравнение Пифагора:
a^2 + ((3/2)*a)^2 = c^2
Раскроем скобки:
a^2 + 9/4*a^2 = c^2
Найдем общий знаменатель:
(4a^2 + 9a^2)/4 = c^2
Сложим выражения:
13a^2/4 = c^2
Упростим уравнение:
13a^2 = 4c^2

4. Теперь у нас есть два уравнения: 432 = a*b и 13a^2 = 4c^2. Выразим b и c через a:
Подставим выражение для b в первое уравнение:
432 = a*((3/2)*a)
Упростим выражение:
432 = (3/2)*a^2
Умножим обе стороны на 2/3:
288 = a^2
Найдем квадратный корень:
a = √288

Теперь выразим c через a:
13a^2 = 4c^2
Подставим значение a:
13*(√288)^2 = 4c^2
Упростим:
13*288 = 4c^2
Разделим обе стороны на 4:
13*288/4 = c^2
936 = c^2
Найдем квадратный корень:
c = √936

Таким образом, мы получили значения a и c. Однако, нам интересует только длина гипотенузы, поэтому ответом будет значение c: c = √936.

Надеюсь, этот подробный ответ помог разобраться в решении этой задачи! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать.