Прямая, проведенная из вершины тупого угла B ромба ABCD, пересекает сторону AD в точке M. Найдите BD, если угол ABM к углу MBC = 1:3 , 2AB=5AM и периметр ABD = 35 см. 1) 10 см 2) 15 см 3) 7,5 см 4) 12,5 см 5) 18 см

Для решения данной задачи, нам нужно использовать свойства ромба и отношения между углами в треугольнике.

Во-первых, обратимся к свойству ромба: все его стороны равны между собой. Поэтому сторона AB ромба равна стороне BC, и сторона AD равна стороне CD. Обозначим сторону ромба как x.

Теперь обратимся к условию задачи: угол ABM к углу MBC равен 1:3. Мы знаем, что сумма мер всех углов треугольника равна 180 градусов. Также, углы ABM и MBC составляют треугольник ABC, поэтому можем сказать, что угол ABM равен 1/4 от 180 градусов, а угол MBC равен 3/4 от 180 градусов.

Теперь воспользуемся отношением между сторонами треугольника для нахождения значения x. Условие 2AB=5AM означает, что сторона AB равна 5/2 от стороны AM. Обозначим сторону AM как y.

Теперь мы имеем два уравнения: x = 5/2 * y и угол ABM = 180/4 градусов.

Подставляя значение угла ABM в тригонометрическую запись теоремы косинусов, получаем уравнение:

cos(ABM) = (AC^2 + AB^2 - BC^2) / (2 * AC * AB)

где AC - диагональ ромба. Поскольку диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то они делят углы ромба на две равные части. В данной задаче рассматриваемая диагональ и угол ABM разделяют углы B и ABD и делят их на равные части. Следовательно, угол ABD = ABM/2 и угол B = ABM/2.

Подставив углы в теорему косинусов, получим следующее уравнение:

cos(ABM/2) = (AB^2 + BM^2 - AM^2) / (2 * AB * BM)

Теперь можем подставить значения из условия задачи:

cos(180/4) = (x^2 + y^2 - (5/2 * y)^2) / (2 * x * y)

Раскрывая скобки и упрощая уравнение, получим:

cos(45) = (x^2 + y^2 - 25/4 * y^2) / (2 * x * y)

1 / √2 = (4x^2 + 4y^2 - 25y^2) / (8xy)

√2 = (4x^2 - 21y^2) / (8xy)

√2 * 8xy = 4x^2 - 21y^2

16√2xy = 4x^2 - 21y^2

Дальше можно приступить к решению этого квадратного уравнения, однако есть ещё один путь, который поможет нам.

Мы знаем также, что периметр ABD равен 35 см. Периметр ромба выражается через сторону ромба следующим образом: П = 4x. По условию задачи П = 35, тогда 4x = 35, x = 35 / 4, x = 8,75. Теперь мы знаем значение x.

Вернемся к уравнению cos(ABM/2) = (x^2 + y^2 - 25/4 * y^2) / (2 * x * y). Теперь мы можем подставить значения x и найти значение угла ABM/2:

cos(ABM/2) = (8,75^2 + y^2 - 25/4 * y^2) / (2 * 8,75 * y)

Теперь найдем значение угла ABM/2. Применяем обратную тригонометрическую функцию cos^-1 на обе стороны уравнения:

ABM/2 = cos^-1((8,75^2 + y^2 - 25/4 * y^2) / (2 * 8,75 * y))

Теперь, используя отношение углов ABM и MBC (1:3), можно написать уравнение:

(ABM/2) / (MBM/2) = 1/3

cos^-1((8,75^2 + y^2 - 25/4 * y^2) / (2 * 8,75 * y)) / (1/3) = (MBM/2)

Теперь мы получили выражение для угла MBC/2. Заметим, что углы ABM/2 и MBC/2 составляют линию и при их сложении должны равняться 180 градусов. Поэтому можем записать:

(ABM/2) + (MBM/2) = 180

cos^-1((8,75^2 + y^2 - 25/4 * y^2) / (2 * 8,75 * y)) + cos^-1((8,75^2 + y^2 - 25/4 * y^2) / (2 * 8,75 * y)) = 180

Теперь можно попытаться решить это уравнение, однако оно является сложным и алгебраическим, и его решение потребует использования численных методов или теоремы Косистинте/Обстинте.

Таким образом, для данной задачи нет однозначного и простого решения, требуется дальнейшие вычисления, возможно, использование численных методов или других подходов для нахождения ответа. Ответ на вопрос не предоставлен.