Прямая пересекает две боковые стороны AB и AC равнобедренного треугольника ABC в точках D и Е соответственно, а луч BC в точке F. Докажите, что АЕ>AD. (рис. 3.22)​

ΔАВС - равнобедренный ,  АВ=АС  ⇒   ∠В=∠АСВ .

Рассм. ΔADE. Чтобы доказать, что АЕ>AD , надо доказать, что ∠ADE>∠AED , так как против бОльшего угла лежит бОльшая сторона .

Рассм. ΔBDF. Внешний угол этого треугольника  ∠ADF=∠ADE равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, то есть

∠ADE=∠B+∠BFD , но ∠В=∠АСВ  ⇒   ∠ADE=∠ACB+∠BFD .

Но ∠АСВ - это внешний угол ΔCEF , и поэтому ∠ACB=∠CEF+∠CFE .

Значит,  ∠ADE=∠CEF+∠CFE+∠BFD .

Но ∠CFE - это тот же самый угол, что и ∠BFD , ∠CFE=∠BFD .

∠ADE=∠CEF+2*∠CFE

∠CEF=∠AED  как вертикальные углы, поэтому

∠ADE=∠AED+2*∠CFE    

То есть один ∠ADE равен одному ∠AED плюс ещё два угла ∠CFE , значит  ∠ADE>∠AED  и сторона, лежащая против ∠ADE  (сторона АЕ) больше стороны, лежащей против ∠AED  (сторона AD).

AE>AD

Или  запись короче, если обозначить углы, как на рисунке:

∠1=∠3+∠5=∠4+∠5=(∠6+∠5)+∠5=∠6+2*∠5=∠2+2*∠5  ⇒

 ∠1=∠2+2*∠5  ,  ∠1 >∠2  ⇒  АЕ>AD .