Прямая а пересекает плоскость в в точке С и образует с плоскостью на угол 60°.
Р€ а, точка R-проекция на плоскость в. RC=9 см. Найди РС

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1) Сначала нарисуем схематическое изображение проблемы. На бумаге нарисуем плоскость в, отметим на ней точку С, и проведем прямую а так, чтобы она пересекала плоскость в в точке С и образовывала с плоскостью на угол 60°.

2) Отметим на плоскости в проекцию точки R и обозначим ее как R'. Также нарисуем отрезок RC и обозначим его длину как 9 см.

3) Для решения задачи, нам понадобится некоторая информация о геометрических свойствах пересекающихся прямых и плоскостей. В данном случае, мы можем использовать свойство о трех взаимно перпендикулярных прямых.

4) Наша задача состоит в том, чтобы найти длину отрезка РС. Для этого мы можем использовать подобные треугольники.

5) В треугольнике RCR' угол R в точности равен 90°, так как он соответствует пересечению перпендикулярных прямых. Также в этом треугольнике угол RCR' равен 60°, так как он соответствует углу, образованному прямой а с плоскостью в. Значит, у нас есть треугольник, у которого два угла равны 90° и 60°, следовательно, третий угол также равен 90° (сумма углов треугольника равна 180°).

6) Таким образом, треугольник RCR' является прямоугольным треугольником с углом 90° между сторонами RC и R'C.

7) Используя свойства прямоугольного треугольника, мы можем записать соотношение между длинами сторон треугольника RCR':

(RC)^2 = (RR')^2 + (R'C)^2

Подставим известные значения:

(9)^2 = (RR')^2 + (R'C)^2

8) Давайте найдем длину отрезка RR'. Для этого мы можем использовать тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике.

Мы знаем, что угол R,\ R'C\ R = 60°. Для этого угла, тангенс равен отношению катета R'C к катету R'R:

tg(60°) = R'C / R'R

tg(60°) = (√3 / 1) = √3

Значит, R'C = √3 * R'R

9) Подставим это значение в уравнение из пункта 7:

(9)^2 = (RR')^2 + (√3 * R'R)^2

81 = (RR')^2 + 3 * (R'R)^2

10) Имея это уравнение, нам нужно найти отношение длин сторон RR' и R'R. Для этого, давайте обозначим длину R'R как x. Тогда отношение длин будет:

RR' / R'R = 9 / x

RR' = (9 / x) * R'R

11) Подставим это значение в уравнение из пункта 9:

81 = [ (9 / x) * R'R ]^2 + 3 * (R'R)^2

81 = (9 / x)^2 * (R'R)^2 + 3 * (R'R)^2

12) Умножим обе части уравнения на x^2, чтобы избавиться от дробей:

81 * x^2 = 81 * (R'R)^2 + 3 * (R'R)^2 * x^2

81 * x^2 = (81 + 3 * x^2) * (R'R)^2

13) Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно (R'R)^2:

81 * x^2 = (81 + 3 * x^2) * (R'R)^2

(R'R)^2 = 81 * x^2 / (81 + 3 * x^2)

14) Подставим значение x из пункта 7, x = RR':

(R'R)^2 = 81 * (RR')^2 / (81 + 3 * (RR')^2)

15) Раскроем квадрат в знаменателе:

(R'R)^2 = 81 * (RR')^2 / (81 + 3 * (RR')^2)

(R'R)^2 = 81 * (RR')^2 / (81 + 3 * (RR')^2)

(R'R)^2 = 81 * (RR')^2 / (9 * 9 + 3 * (RR')^2)

(R'R)^2 = 81 * (RR')^2 / (81 + 3 * (RR')^2)

(R'R)^2 = (81 * (RR')^2) / (81 + 3 * (RR')^2)

16) Упростим формулу, сокращая RR'^2:

(R'R)^2 = 81 / (81 / (RR')^2 + 3)

(R'R)^2 = 81 / (1 / [(RR')^2 / 81] + 3)

(R'R)^2 = 81 / (1 + 3 / [(RR')^2 / 81])

(R'R)^2 = 81 /(1 + (3 / 81) * [(RR')^2 / 1])

(R'R)^2 = 81 /(1 + (3 / 81) * [(RR')^2 / 1])

(R'R)^2 = 81 /(1 + (1/27) * [(RR')^2 / 1])

(R'R)^2 = 81 / (1 + RR'^2 / 27)

17) Заметим, что RR'^2 / 27 = 1 - это очевидно, так как если RR' равно радиусу единичной окружности, то RR'^2 равно единице. Таким образом, у нас есть:

(R'R)^2 = 81 / (1 + 1)

(R'R)^2 = 81 / 2

18) Найдем корень из обеих частей уравнения:

R'R = √(81 / 2)

R'R = √((81 * 2) / (2 * 2))

R'R = √(162 / 4)

R'R = √40,5

R'R ≈ 6,36 см

19) Теперь мы можем найти длину отрезка РС. Очевидно, что РС = 9 см - (R'R), поскольку отрезок РC состоит из отрезка RC и отрезка CR'. Тогда:

РС ≈ 9 см - 6,36 см

РС ≈ 2,64 см

Таким образом, длина отрезка РС примерно равна 2,64 см.