Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Найти математическое ожидание и дисперсию числа проверенных деталей, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1

Добрый день! Очень рад выступить перед вами в роли школьного учителя и помочь вам разобраться с этой задачей.

Итак, мы имеем большую партию деталей, которые нужно проверить на брак. Вероятность брака для каждой детали составляет 0,1. Задача состоит в том, чтобы найти математическое ожидание и дисперсию числа проверенных деталей.

Для начала давайте определим случайную величину X - число проверенных деталей до обнаружения первой бракованной детали. Эта случайная величина может принимать значения 1, 2, 3 и так далее.

Для нахождения математического ожидания числа проверенных деталей, мы должны умножить каждое возможное значение случайной величины на соответствующую вероятность и сложить полученные произведения.

Математическое ожидание можно вычислить следующим образом:
E(X) = 1 * P(X=1) + 2 * P(X=2) + 3 * P(X=3) + ...

Теперь давайте найдем вероятности каждого из значений случайной величины X. Если мы обнаружили бракованную деталь на первой проверке, то число проверенных деталей будет равно 1, и вероятность этого события составляет 0,1. Если мы обнаружим бракованную деталь только на второй проверке, то число проверенных деталей будет равно 2. Но для этого первая деталь должна быть нормальной, а вторая - бракованной. Вероятность этого события равна (0,9 * 0,1). Аналогично, вероятность обнаружить бракованную деталь только на третьей проверке составляет (0,9 * 0,9 * 0,1).

Из этих соображений мы можем записать вероятности для каждого значения случайной величины следующим образом:

P(X=1) = 0,1
P(X=2) = 0,9 * 0,1
P(X=3) = 0,9 * 0,9 * 0,1
...

Теперь мы можем вычислить математическое ожидание:

E(X) = 1 * 0,1 + 2 * (0,9 * 0,1) + 3 * (0,9 * 0,9 * 0,1) + ...

Здесь мы видим, что начиная со второго слагаемого, каждое последующее слагаемое получается путем умножения предыдущего на (0,9 * 0,9 * 0,1). То есть, мы можем записать:

E(X) = 0,1 + 2 * (0,9 * 0,1) + 3 * (0,9 * 0,9 * 0,1) + ...
= 0,1 + (0,9 * 0,1) * (2 + 3 * 0,9 + 4 * (0,9^2) + ...)

Обратите внимание, что в скобках находится бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом 2 и знаменателем 0,9. Известно, что сумма такой прогрессии равна первому члену, деленному на (1 - знаменатель). То есть, мы можем записать:

E(X) = 0,1 + (0,9 * 0,1) * (2 + 3 * 0,9 + 4 * (0,9^2) + ...)
= 0,1 + (0,9 * 0,1) * (2 / (1 - 0,9))
= 0,1 + (0,9 * 0,1) * (2 / 0,1)
= 0,1 + 0,9 * 2

Итак, математическое ожидание числа проверенных деталей будет равно:

E(X) = 0,1 + 0,9 * 2
= 0,1 + 1,8
= 1,9

Теперь давайте рассмотрим нахождение дисперсии числа проверенных деталей. Дисперсия вычисляется как среднее значение квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Для этого нам необходимо вычислить среднее значение квадрата числа проверенных деталей. То есть, мы должны умножить каждое возможное значение на соответствующую вероятность, возвести результат в квадрат, сложить все полученные произведения и вычесть из этой суммы квадрат математического ожидания.

Дисперсию можно вычислить следующим образом:
Var(X) = (1^2 * P(X=1) + 2^2 * P(X=2) + 3^2 * P(X=3) + ...) - E(X)^2

Теперь давайте заменим вероятности, полученные ранее, в этом выражении:

Var(X) = (1^2 * 0,1 + 2^2 * (0,9 * 0,1) + 3^2 * (0,9 * 0,9 * 0,1) + ...) - (1,9)^2

Аналогично вычислениям математического ожидания, мы видим, что начиная со второго слагаемого, каждое следующее слагаемое получается путем умножения предыдущего на (0,9 * 0,9 * 0,1):

Var(X) = (1^2 * 0,1 + 2^2 * (0,9 * 0,1) + 3^2 * (0,9 * 0,9 * 0,1) + ...)
- (1,9)^2
= (0,1 + 4 * (0,9 * 0,1) + 9 * (0,9 * 0,9 * 0,1) + ...)
- 3,61

Здесь мы также видим прогрессию чисел, возведенных в квадрат, умноженных на (0,9 * 0,9 * 0,1). Известно, что сумма такой прогрессии равна сумме квадратов первого члена, деленной на (1 - квадрат знаменателя). То есть, мы можем записать:

Var(X) = (0,1 + 4 * (0,9 * 0,1) + 9 * (0,9 * 0,9 * 0,1) + ...)
- 3,61
= (0,1 + 4 * (0,9 * 0,1) + 9 * (0,9 * 0,9 * 0,1) + ...)
- 3,61
= (0,1 + 4 * (0,9 * 0,1) + 9 * (0,9 * 0,9 * 0,1) + ...)
- (1,9)^2
= (0,1 + 4 * (0,9 * 0,1) + 9 * (0,9 * 0,9 * 0,1) + ...)
- 3,61
= (0,1 + 4 * (0,9 * 0,1) + 9 * (0,9 * 0,9 * 0,1) + ...)
- 3,61^2 / (1 - (0,9 * 0,1))^2
= (0,1 + 4 * (0,9 * 0,1) + 9 * (0,9 * 0,9 * 0,1) + ...)
- 3,61^2 / (1 - 0,09)

Итак, дисперсию числа проверенных деталей можно записать следующим образом:

Var(X) = (0,1 + 4 * (0,9 * 0,1) + 9 * (0,9 * 0,9 * 0,1) + ...)
- 3,61^2 / (1 - 0,09)

Хоть это выражение суммирует бесконечное количество членов, но оно может быть упрощено. Мы только что вычислили математическое ожидание, которое составляет 1,9. Из этого следует, что слагаемое 0,1 уже включено в математическое ожидание. Значит мы можем записать следующее:

Var(X) = (4 * (0,9 * 0,1) + 9 * (0,9 * 0,9 * 0,1) + ...)
- 3,61^2 / (1 - 0,09)

Теперь мы можем заменить в скобках наши значения вероятностей:

Var(X) = (4 * (0,9 * 0,1) + 9 * (0,9 * 0,9 * 0,1) + ...)
- 3,61^2 / (1 - 0,09)
= (4 * (0,9 * 0,1) + 9 * (0,9 * 0,9 * 0,1) + ...)
- 3,61^2 / 0,91

Геометрическая прогрессия в скобках является схожей с той, что мы использовали для нахождения математического ожидания, но в данном случае первый член равен 4, а знаменатель равен (0,9 * 0,1). Такая последовательность суммируется как первый член, деленный на (1 - знаменатель). Поэтому мы можем записать:

Var(X) = (4 * (0,9 * 0,1) + 9 * (0,9 * 0,9 * 0,1) + ...)
- 3,61^2 / 0,91
= 4 / (1 - (0,9 * 0,1)) - 3,61^2 / 0,91
= 4 / (1 - 0,09) - 3,61^2 / 0,91

Теперь мы можем упростить это выражение:

Var(X) = 4 / 0,91 - 3,61^2 / 0,91
= 4 * 1,1 - 3,61^2 / 0,91
= 4,4 - 3,61^2 / 0,91

Таким образом, дисперсия числа проверенных деталей будет равна:

Var(X) = 4,4 - 3,61^2 / 0,91

Надеюсь, я смог все пояснить подробно и понятно. Если у вас возникнут какие-либо вопросы или понадобится дополнительное объяснение, пожалуйста, дайте мне знать. Я с удовольствием помогу!