Провести полную исследования функции и построить график

​

Пошаговое объяснение:

Дано:  F(x) = (x²-2*x+1)/(x + 1)

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения: D(y)= X≠ -1 , X∈(-∞;-1)∪(-1;+∞)

(x+1 ≠  0.  X  ≠ -1

Не допускаем деления на 0 в знаменателе.  

2. Разрыв II-го рода при Х = -1   Вертикальных асимптота  - Х = -1

3. Пересечение с осями координат.

а) Нули функции, пересечение с осью ОХ.  

Решаем квадратное уравнение в числителе. y=x²-2*x+1 = 0.

Дискриминант D = 0, Корни: x1 = x2 = 1

б) Пересечение с осью ОУ.  У(0) = 1

4. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательна: Y(x)≤0 - X∈(-∞;-1)∪[1]

Положительна: Y>0 - X∈(-1;1)U(1;+∞).

6. Проверка на чётность.

Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.  

Функция общего вида - ни чётная, ни нечётная.

7. Поиск экстремумов по первой производной.      

F'(x) =(2*x -2)/(x+1) - (1*(x²-2*x+1) = (x² +2*x -3)/(x+1)²

Решаем квадратное уравнение в числителе  (x² +2*x -3) = 0

Дискриминант D = 16, Корни: x1 = -3, x2 = 1

8. Локальный максимум: y(-3) = -8,   минимум: y(1) = 0.

9. Интервалы монотонности.    

Возрастает:  X∈(-∞;-3)∪(1;+∞).

Убывает: X∈(-3;-1)∪(-1;1).

10. Поиск перегибов по второй производной.    

y''(x) = ?

Точки перегиба нет, кроме разрыва при х =-1

11. Выпуклая - (горка) - X∈(-∞;-1);  Вогнутая - (ложка)  X∈(-1;+∞;),  

12. Наклонная асимптота: k = lim(+∞)Y(x)/x = 1 - наклон  

b = lim(+∞)Y(x) - k*x -3/1 = -3  и y(x) = x -3 - асимптота.

12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).    

13. График функции на рисунке в приложении.