Проверочная работа по теме "Тела вращения"
4 Вариант
1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 8 см.
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2. Радиус основания конуса равен 10 см, а образующая наклонена к
плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь сечения, проходящего
через две образующие, угол между которыми 30° и площадь боковой
поверхности конуса.
3. Диаметр шара равен d. Через конец диаметра проведена плоскость под
углом 30° к нему. Найдите длину линии пересечення сферы и плоскости.
4. В цилиндре проведена плоскость. параллельная оси и отсекающая от
окружности основання дугу в 120°. Диагональ сечения равна 20 см нудалена
от оси на 3 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.​

1. Для решения этой задачи нужно знать формулу для площади боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле S = 2πrh, где S - площадь боковой поверхности, r - радиус цилиндра, h - высота цилиндра.

В данной задаче осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 8 см. Это значит, что сторона квадрата равна 8/√2 = 8√2/2 = 4√2 см.

Чтобы найти радиус цилиндра, нужно разделить сторону квадрата на √2, так как сторона квадрата равна диаметру основания цилиндра. Таким образом, р = 4√2/√2 = 4 см.

В условии задачи не указана высота цилиндра, поэтому мы не можем точно найти площадь боковой поверхности. Здесь есть несколько возможных вариантов:

- Если высота цилиндра неизвестна, нам остается только предположить определенное значение для высоты и вычислить площадь боковой поверхности для этой высоты. Например, если мы предполагаем, что высота цилиндра h равна 10 см, то площадь боковой поверхности будет равна S = 2πrh = 2π * 4 * 10 = 80π см².

- Если есть указание в задаче о том, что высота цилиндра равна определенному значению, то мы можем использовать это значение для расчета площади боковой поверхности.

2. Для решения этой задачи нам нужны формулы для расчета площади сечения и боковой поверхности конуса.

Для начала найдем высоту конуса по формуле h = r/tan(α), где r - радиус основания конуса, α - угол наклона образующей к плоскости основания.

В условии задачи указано, что радиус основания конуса равен 10 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Значит, α = 45°.

Высоту конуса можно найти следующим образом: h = 10/tan(45°) = 10/1 = 10 см.

Чтобы найти площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми 30°, можно использовать формулу площади сечения конуса S = πr², где r - радиус сечения.

У нас есть угол между образующими (α = 30°), поэтому можем использовать формулу площади сечения конуса S = πr² * cos(α), где r - радиус основания конуса, α - угол между двумя образующими.

Таким образом, площадь сечения будет равна S = π * 10² * cos(30°) = 100π * cos(30°) см².

Чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, воспользуемся формулой S = πrl, где r - радиус основания конуса, l - образующая конуса.

У нас известны значения радиуса основания (10 см) и угла наклона образующей (α = 45°), поэтому можем использовать формулу S = π * 10 * 10/tan(45°) = 100π см².

3. Для решения этой задачи нужно найти радиус шара и использовать формулу длины окружности.

В задаче сказано, что диаметр шара равен d. Это значит, что радиус шара равен d/2.

Далее, нужно найти длину линии пересечения шара и плоскости. Линия пересечения сферы и плоскости является окружностью. Длина окружности равна 2πr, где r - радиус окружности.

В данной задаче нам известен угол между диаметром шара и плоскостью (α = 30°), поэтому мы можем использовать формулу для длины окружности и угол сектора: Длина = 2πr * (α/360).

Таким образом, длина линии пересечения будет равна L = 2π * (d/2) * (30°/360°) = πd/3.

4. Для решения этой задачи нужно найти высоту цилиндра и площадь боковой поверхности цилиндра.

В задаче говорится, что плоскость проведена параллельно оси цилиндра и отсекает от окружности основания дугу в 120°. Диагональ сечения равна 20 см, удалена от оси на 3 см.

Чтобы найти высоту цилиндра, нам нужно использовать секущую дугу и радиус, а также теорему Пифагора. Зная секущую дугу (20 см) и удаление от оси (3 см), можем найти высоту по формуле h² = r² - (d/2)², где h - высота цилиндра, r - радиус окружности основания, d - секущая дуга.

h² = r² - (d/2)²
h² = r² - (20/2)²
h² = r² - 10²
h = √(r² - 10²)

Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, воспользуемся формулой S = 2πrh, где r - радиус цилиндра, h - высота цилиндра.

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра будет S = 2πr * √(r² - 10²).