«Промежутки монотонности. Точки экстремума»

1. Найдите промежутки возрастания и убывания

функции

2. Найдите точки экстремума функции

Смотрите в прикрепленном

Добрый день! Промежутки монотонности и точки экстремума функции - это важные понятия в математике, которые позволяют анализировать изменение значения функции на определенном интервале. Давайте разберем каждую часть вопроса по порядку.

1. Нахождение промежутков возрастания и убывания функции.

Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо проанализировать ее производную. Производная функции показывает ее скорость изменения в разных точках. Если производная положительна, то функция возрастает на данном интервале, а если отрицательна - то убывает.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции выполним следующие шаги:

1.1. Возьмем указанную функцию и найдем ее производную.
1.2. Решим уравнение, полученное при приравнивании производной к нулю.
1.3. На основе полученных значений x, разобьем ось OX на интервалы.
1.4. Возьмем по одной точке из каждого интервала и подставим в производную функцию для определения знака значения.
1.5. Найденные интервалы с положительными значениями производной обозначают промежутки возрастания, с отрицательными значениями - промежутки убывания функции.

Пример:
Пусть задана функция f(x) = x^2 - 2x + 1.

1.1. Найдем производную функции f'(x) = 2x - 2.
1.2. Решим уравнение f'(x) = 0:
2x - 2 = 0
2x = 2
x = 1.
1.3. Разобьем ось OX на интервалы:
x < 1, 1 < x.
1.4. Подставим по одной точке из каждого интервала в производную:
Для x < 1:
Выберем точку x = 0: f'(0) = 2*0 - 2 = -2 (отрицательное значение, значит, промежуток убывания).
Для 1 < x:
Выберем точку x = 2: f'(2) = 2*2 - 2 = 2 (положительное значение, значит, промежуток возрастания).
1.5. В результате получаем, что функция f(x) возрастает на промежутке (1, +∞) и убывает на промежутке (-∞, 1).

2. Нахождение точек экстремума функции.

Точками экстремума функции являются точки, в которых функция меняет свой характер (из возрастания в убывание или наоборот). То есть, это моменты, где функция достигает максимального или минимального значения.

Для нахождения точек экстремума функции выполним следующие шаги:

2.1. Найдем производную функции.
2.2. Решим уравнение, полученное при приравнивании производной к нулю.
2.3. Найденные значения x являются точками экстремума функции.

Пример (продолжение предыдущего примера):
Пусть задана функция f(x) = x^2 - 2x + 1.

2.1. Найдем производную функции f'(x) = 2x - 2.
2.2. Решим уравнение f'(x) = 0:
2x - 2 = 0
2x = 2
x = 1.
2.3. Найденное значение x = 1 является точкой экстремума.

В нашем примере, функция f(x) = x^2 - 2x + 1 имеет одну точку экстремума при x = 1. Эта точка является минимумом функции, так как она достигается при переходе от убывания к возрастанию функции.

Надеюсь, что объяснение было понятным и полезным. Если возникли дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение, не стесняйтесь задавать!