Производная функции

y=(ctgx)^sin2x равна

Для решения задачи, нам понадобится знать некоторые правила дифференцирования. В данном случае, нам нужно найти производную функции y=(ctgx)^sin(2x). Давайте разделим решение на несколько шагов:

Шаг 1: Выразим функцию через элементарные функции.
Произведение функций ctgx и sin(2x) не представляет собой элементарную функцию, поэтому воспользуемся тригонометрическими тождествами для переписи функции в другом виде.

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) (т.ф. 1)
1 / sin(x) = csc(x) (т.ф. 2)
1 / cos(x) = sec(x) (т.ф. 3)
1 / tan(x) = cot(x) (т.ф. 4)

ctgx = 1 / tanx (т.ф. 5)

Тогда,

y = (ctgx)^sin(2x)
= (1 / tanx)^sin(2x)
= (1 / tanx)^(2sinx*cosx) (воспользуемся тригонометрическим тождеством sin(2x) = 2sinxcosx)

Шаг 2: Найдем производную.
Теперь, когда функция выражена через элементарные функции, мы можем найти ее производную. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Пусть функция u = 1 / tanx. Тогда,

du/dx = -(secx)^2 (правило дифференцирования функции tanx, т.е. d(tanx)/dx = sec^2(x))

Теперь, давайте применим это правило. Пусть функция v = 2sinx*cosx. Тогда,

dv/dx = 2 * (cosx * cosx - sinx * sinx) (применяем правило дифференцирования функции sin(2x), т.е. d(sin(2x))/dx = 2cos(2x))

Теперь, мы можем применить правило дифференцирования сложной функции:

dy/dx = (v^u) * (du/dx) + (u^v) * (dv/dx)

Здесь "^" означает возведение в степень.

Теперь, подставим значения u и v и вычислим производные:

dy/dx = ((1 / tanx)^(2sinx*cosx)) * (-(secx)^2) + ((2sinx*cosx)^(1 / tanx)) * (2 * (cosx * cosx - sinx * sinx))

Это будет итоговым ответом на вопрос. Как видите, решение было разбито на несколько шагов, чтобы обеспечить понимание школьника и обоснование результата.