Производная функции y = 1-sinx/1+sinx​

Конечно, я готов выступить в роли школьного учителя и объяснить, как найти производную функции y = 1 - sinx / (1 + sinx).

Перед тем, как начать, вспомним, что производная функции показывает, как быстро меняется значение функции при изменении ее аргумента. Чтобы найти производную функции, мы будем использовать так называемое дифференцирование, или нахождение производной.

Давайте разобьем задачу на несколько шагов:

Шаг 1: Выразить функцию через одну переменную.
Для начала, давайте приведем функцию к более простому виду. У нас есть дробь, где числитель - это выражение 1 - sinx, а знаменатель - это выражение 1 + sinx. Чтобы сделать процесс дифференцирования более удобным, давайте выразим функцию через одну переменную, скажем, через u. Пусть u = sinx. Тогда функция y примет вид y = (1 - u) / (1 + u).

Шаг 2: Найти производную функции y по переменной u.
Теперь, когда у нас есть функция y, выраженная через одну переменную, давайте найдем производную функции y по переменной u. Для этого нам понадобится использовать правила дифференцирования.

Производная функции y = (1 - u) / (1 + u) по переменной u можно найти с помощью правила дифференцирования для частного функций. По этому правилу, производная частного двух функций равна (производная первой функции × вторая функция - производная второй функции × первая функция) / (вторая функция в квадрате). Применяя это правило к нашей функции, получим:

dy/du = [(1 + u) × 0 - (1 - u) × 1] / (1 + u)²
= [-1 + u] / (1 + u)².

Шаг 3: Выразить производную функции y по переменной x.
Теперь, когда у нас есть производная функции y по переменной u, давайте выразим производную функции y по переменной x. Для этого нам нужно применить правило цепочной дифференцирования. По этому правилу, производная функции y по переменной x равна произведению производной функции y по переменной u и производной переменной u по переменной x.

Шаг 4: Найти производную переменной u по переменной x.
Переменная u = sinx, поэтому чтобы найти производную переменной u по переменной x, нам нужно использовать правило дифференцирования для функции синуса. По этому правилу, производная функции sinx равна cosx. Таким образом, производная переменной u по переменной x равна du/dx = cosx.

Шаг 5: Выразить производную функции y по переменной x.
Теперь, когда у нас есть производные функции y по переменной u и переменной u по переменной x, давайте применим правило цепочной дифференцирования. У нас есть dy/du = [-1 + u] / (1 + u)² и du/dx = cosx. Применяя это правило к нашей функции, получим:

dy/dx = dy/du × du/dx
= [-1 + sinx] / (1 + sinx)² × cosx.

Это и есть производная функции y = 1 - sinx / (1 + sinx) по переменной x.

Итак, ответ на вопрос:

Производная функции y = 1 - sinx / (1 + sinx) по переменной x равна dy/dx = [-1 + sinx] / (1 + sinx)² × cosx.

Я надеюсь, что эта подробная и обстоятельная информация помогла вам понять, как найти производную функции y = 1 - sinx / (1 + sinx) и решить задачу.