При каком наименьшем натуральном n число n!=1⋅2⋅…⋅n делится на 2 600 000?

13

Пошаговое объяснение:

2600=10*10*13*2

Ясно, что число 13 подходит. В 13! есть множители 13,10,5,2,и 4.

13 - наименьшее число, т.к. оно простое и должно входить в сомножители.

Чтобы найти наименьшее натуральное число n, при котором n! (факториал n) делится на 2 600 000, нам потребуется разложение этого числа на простые множители.

Разложим 2 600 000 на простые множители:
2 600 000 = 2^6 * 5^4 * 13^2

Теперь нам нужно определить, какие простые числа входят в разложение n!, чтобы определить наименьшее значение n.

Обратимся к простым множителям числа 2 600 000:

1) 6-я степень числа 2: Простое число 2 входит в разложение числа n! только один раз для каждого четного числа. Таким образом, нам нужно найти наименьшее четное число n, при котором 2^6 входит в разложение n!.

2) 4-я степень числа 5: Простое число 5 входит в разложение числа n! только один раз для каждого числа, которое больше или равно 5. Таким образом, нам нужно найти наименьшее число n, при котором 5^4 входит в разложение n!.

3) 2-я степень числа 13: Простое число 13 входит в разложение числа n! только один раз для каждого числа, которое больше или равно 13. Таким образом, нам нужно найти наименьшее число n, при котором 13^2 входит в разложение n!.

Выясним значения n для каждого из этих простых чисел.

1) n и 2^6:
Чтобы найти наименьшее четное число n, для которого 2^6 входит в разложение n!, мы рассмотрим степени числа 2 в разложении n!:
n/2 + n/4 + n/8 + n/16 + n/32 + n/64 >= 6

Проанализируем каждое слагаемое по отдельности:
- n/2: это количество чисел, делящихся на 2 в диапазоне от 1 до n.
- n/4: это количество чисел, делящихся на 4.
- n/8: это количество чисел, делящихся на 8.
- n/16: количество чисел, делящихся на 16.
- n/32: количество чисел, делящихся на 32.
- n/64: количество чисел, делящихся на 64.

Нам нужно найти наименьшее n, при котором сумма этих слагаемых будет больше или равна 6:
n/2 + n/4 + n/8 + n/16 + n/32 + n/64 >= 6

Теперь найдем такое n:

n/2 + n/4 + n/8 + n/16 + n/32 + n/64 = (32n + 16n + 8n + 4n + 2n + n)/64 = 63n/64 >= 6

63n >= 384
n >= 384/63
n >= 6,1

Таким образом, наименьшее четное n, при котором 2^6 входит в разложение n!, равно 7.

2) n и 5^4:
Чтобы найти наименьшее n, для которого 5^4 входит в разложение n!, мы рассмотрим количество чисел, кратных 5, 25 и 125 в диапазоне от 1 до n.

Количество чисел, кратных 5: n/5.
Количество чисел, кратных 25: n/25.
Количество чисел, кратных 125: n/125.

Нам нужно найти наименьшее n, при котором сумма этих слагаемых будет больше или равна 4:
n/5 + n/25 + n/125 >= 4

Аналогично предыдущему шагу, найдем такое n:

n/5 + n/25 + n/125 = (25n + 5n + n)/125 = 31n/125 >= 4

31n >= 500
n >= 500/31
n >= 16,13

Таким образом, наименьшее n, при котором 5^4 входит в разложение n!, равно 17.

3) n и 13^2:
Чтобы найти наименьшее n, для которого 13^2 входит в разложение n!, мы должны убедиться, что n больше или равен 13.

Таким образом, наименьшее n, при котором 13^2 входит в разложение n!, равно 13.

Таким образом, ответом на вопрос является число n = 17, так как это наименьшее значение, при котором все простые множители числа 2 600 000 (2^6 * 5^4 * 13^2) входят в разложение n!.