При каком наименьшем натуральном k число вида 111...11 k eдиниц делится на 333...33 ? 100 троек

Запись этого числа состоит из 300 единиц

Пошаговое объяснение:

Для решения данной задачи проанализируем, при каких значениях k число 111...11k единиц делится на 333...33 (100 троек).

Для начала, заметим, что 333...33 (100 троек) представляет собой число, состоящее из 300 цифр 3, так как каждая тройка состоит из трех троек. Это число можно представить как 3 * (111...11) * 100, то есть оно делится на 3 и на 100.

Теперь обратимся к числу 111...11k. Чтобы это число делилось на 333...33, оно должно делиться и на 3, и на 100.

Сначала рассмотрим условие деления на 3. Чтобы число делилось на 3, сумма всех его цифр также должна быть кратна 3. Разберем это условие подробнее:

Число 111...11k состоит из k единиц и имеет длину k. То есть, оно равно 10^k - 1.
Сумма всех его цифр равна сумме цифр числа 10^k - 1.
Давайте представим число 10^k - 1 в виде суммы степеней 10:

10^k - 1 = 10^k - 10^0 + 10^(k-1) - 10^1 + 10^(k-2) - 10^2 + ... + 10^1 - 10^(k-1) + 10^0.

Очевидно, что все степени 10, кроме 10^0 = 1, делятся на 3. То есть, сумма всех этих степеней также делится на 3. Тогда мы можем упростить выражение:

10^k - 1 = (1 - 1) + (10^k - 10^0) + (10^(k-1) - 10^1) + (10^(k-2) - 10^2) + ... + (10^1 - 10^(k-1)) + (10^0 - 1) = 0.

Таким образом, сумма всех цифр числа 111...11k равна 0 и, следовательно, делится на 3.

Перейдем ко второму условию - делению на 100. Чтобы число 111...11k делилось на 100, его две последние цифры должны быть кратны 100, то есть 111...11k должно иметь форму X00, где X - любое натуральное число.
Также из этого следует, что число 111...11k должно иметь четное значение k, так как только в этом случае последние две цифры могут быть нулями.

Таким образом, для наименьшего натурального k, число 111...11k должно быть кратно 3 и иметь четное значение, а последние две цифры должны быть нулями. Мы также проверили, что при таких значениях число 111...11k будет делиться на число 333...33 (100 троек).

Наименьшим подходящим значением k будет значение 2, так как в этом случае число 111...11k будет равно числу 111100, которое соответствует условиям.