При каких значениях параметра b уравнение имеет ровно два решения? 25^x - (2b+5) * 5^(x-1/x) + 10b*5^(-2/x) = 0

Для того чтобы уравнение имело ровно два решения, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был равен нулю. Давайте разберемся с этим шаг за шагом.

Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 определен как D = b^2 - 4ac.

В данном случае, нам дано уравнение 25^x - (2b+5) * 5^(x-1/x) + 10b*5^(-2/x) = 0.

Для начала, мы можем заметить, что у нас есть базисная степень 5 в каждом из слагаемых - 25^x, (2b+5) * 5^(x-1/x) и 10b*5^(-2/x). Мы можем записать x в исходной записи уравнения в виде x = 5^(x-1/x).

Теперь, давайте введем новую переменную t = 5^x. Мы можем переписать исходное уравнение:

t^2 - (2b+5) * t^(1/t) + 10b * t^(-2/t) = 0.

Для удобства, давайте умножим это уравнение на t^t (преобразование, которое никак не меняет решения уравнения):

t^(2+t) - (2b+5) * t + 10b = 0.

Теперь, мы получили квадратное уравнение относительно переменной t. Мы хотим, чтобы у этого уравнения было ровно два решения, значит, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю.

Дискриминант этого уравнения равен D = (-2b-5)^2 - 4 * 10b.

Решим это уравнение:

(-2b-5)^2 - 4 * 10b = 0.

Раскроем скобки:

4b^2 + 20b + 25 - 40b = 0.

Упростим выражение:

4b^2 - 20b + 25 = 0.

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

D = (-20)^2 - 4 * 4 * 25 = 400 - 400 = 0.

Так как дискриминант равен нулю, решениями этого уравнения являются действительные и равными решениями.

Для нашего исходного уравнения имеет ровно два решения, необходимо и достаточно, чтобы параметр b удовлетворял уравнению 4b^2 - 20b + 25 = 0.

То есть, уравнение имеет ровно два решения при b = 5/2.