При каких значениях m график квадратного трёхчлена y=(m+4)x^2-2(m+2)x+1 расположен ниже оси абцисс

Для того чтобы определить, при каких значениях m график квадратного трехчлена расположен ниже оси абцисс, нам нужно проанализировать его вершину.

Формула для координаты x-вершины квадратного трехчлена вида y = ax^2 + bx + c имеет вид x = -b / (2a), а соответствующая координата y-вершины -- y = c - (b^2) / (4a).

В нашем случае у нас есть трехчлен y = (m+4)x^2 - 2(m+2)x + 1. Для нахождения вершины, мы можем использовать формулы.

Коэффициент a равен (m+4), b равен -2(m+2), а c равно 1. Подставим эти значения в формулы:

x = -(-2(m+2)) / (2(m+4)) = 2(m+2) / (2(m+4)) = (m+2) / (m+4).

y = 1 - [(-2(m+2))^2] / (4(m+4)) = 1 - (4(m+2)^2) / (4(m+4)) = 1 - (m+2)^2 / (m+4).

Теперь мы хотим найти значения m, при которых y < 0, то есть график квадратного трехчлена расположен ниже оси абсцисс.

Мы знаем, что y = 1 - (m+2)^2 / (m+4).

Для того, чтобы найти значения m, при которых y < 0, мы должны решить неравенство 1 - (m+2)^2 / (m+4) < 0.

Сначала приведем выражение к общему знаменателю:

(m+4) - (m+2)^2 < 0.

Распишем квадрат:

m + 4 - (m^2 + 4m + 4) < 0.

Раскрыть скобки:

m + 4 - m^2 - 4m - 4 < 0.

Убрать повторяющиеся члены:

-m^2 - 3m < 0.

Перепишем это неравенство в стандартной форме:

m^2 + 3m > 0.

На следующем шаге мы должны найти значения m, при которых это уравнение истинно. Решение этого уравнения требует факторизации:

m(m + 3) > 0.

Теперь мы знаем, что произведение двух чисел является положительным, когда оба числа имеют один знак. Это верно, когда оба числа положительные или оба числа отрицательные.

Таким образом, возможные значения m, при которых график нашего квадратного трехчлена расположен ниже оси абсцисс, получаем из следующего неравенства:

m > 0 или m < -3.

Итак, когда m больше нуля или m меньше -3, график нашего квадратного трехчлена будет расположен ниже оси абсцисс.