При каких значениях k и m прямая, являющаяся линией пересечения плоскостей x + 2y - 4z + 3 = 0 и 2x - y + 3z + 1 = 0, лежит в плоскости 7x - y + kz + m = 0 ?

Для того чтобы определить, при каких значениях k и m прямая, являющаяся линией пересечения данных плоскостей, будет лежать в плоскости 7x - y + kz + m = 0, нужно выполнить два шага.

Шаг 1: Найти прямую пересечения плоскостей x + 2y - 4z + 3 = 0 и 2x - y + 3z + 1 = 0.

Для этого объединим данные плоскости в систему уравнений:

x + 2y - 4z + 3 = 0 (уравнение 1)
2x - y + 3z + 1 = 0 (уравнение 2)

Найдем векторное уравнение прямой пересечения плоскостей, воспользовавшись методом Крамера:

1) Найдем нормальные векторы плоскостей. Для этого возьмем коэффициенты при переменных в уравнениях плоскостей.

В уравнении 1:
a1 = 1
b1 = 2
c1 = -4

В уравнении 2:
a2 = 2
b2 = -1
c2 = 3

2) Вычислим векторное произведение нормальных векторов плоскостей:

n = (b1 * c2 - b2 * c1, a2 * c1 - a1 * c2, a1 * b2 - a2 * b1)
= (2 * 3 - (-1) * (-4), 2 * (-4) - 1 * 3, 1 * (-1) - 2 * 2)
= (6 - 4, -8 - 3, -1 - 4)
= (2, -11, -5)

Вектор n = (2, -11, -5) является направляющим вектором прямой пересечения данных плоскостей.

3) Найдем точку, через которую проходит прямая пересечения плоскостей. Для этого решим систему из двух уравнений плоскостей:

x + 2y - 4z + 3 = 0 (уравнение 1)
2x - y + 3z + 1 = 0 (уравнение 2)

Подставим любое значение переменной z (например, z = 0) и найдем соответствующие значения x и y:

Когда z = 0, уравнение 2 принимает вид:
2x - y + 3 * 0 + 1 = 0
2x - y + 1 = 0 (уравнение 3)

Из уравнения 3 можно выразить x через y:
2x = y - 1
x = (y - 1) / 2

Подставим полученное выражение для x в уравнение 1:
(y - 1) / 2 + 2y - 4 * 0 + 3 = 0
(y - 1) / 2 + 2y + 3 = 0
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
y - 1 + 4y + 6 = 0
5y + 5 = 0
5y = -5
y = -1

Когда z = 0 и y = -1, найдем значение x:
x = (y - 1) / 2
x = (-1 - 1) / 2
x = -2 / 2
x = -1

Таким образом, координаты точки P, через которую проходит прямая пересечения плоскостей, равны x = -1, y = -1, z = 0.

Итак, прямая пересечения плоскостей задается векторным уравнением r = (-1, -1, 0) + t(2, -11, -5), где t - параметр.

Шаг 2: Определить, будет ли эта прямая лежать в плоскости 7x - y + kz + m = 0.

Для этого подставим координаты точки P (-1, -1, 0) в уравнение плоскости:

7 * (-1) - (-1) + k * 0 + m = 0
-7 + 1 + m = 0
-6 + m = 0
m = 6

Таким образом, прямая пересечения плоскостей лежит в плоскости 7x - y + kz + 6 = 0 при любых значениях k и m, так как при подстановке координат точки P получилось равенство.

В итоге, для любых значений k и m прямая, являющаяся линией пересечения плоскостей x + 2y - 4z + 3 = 0 и 2x - y + 3z + 1 = 0, лежит в плоскости 7x - y + kz + m = 0.