При каких значениях А корни уравнения удовлетворяют условию 0

Ответы

Snake505 07.08.2021 16:17

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

В своем ответе я покажу два решения, каждый из которых имеет право на жизнь. Я предпочитаю решать вторым , почему и рекомендую вам начать с него.

Аналитическое решение:

При a=1 уравнение перестает быть квадратным и принимает линейный вид -2x+1=0 , откуда $x=\dfrac{1}{2}$ . Значит такое значение параметра нам подходит.

При $a\ne1$ графиком уравнения является парабола.

Корни будут, если $D\ge0$ :

D=(a+1)^2-4a(a-1)=a^2+2a+1-4a^2+4a=-3a^2+6a+1

Тогда:

$x=\dfrac{a+1\pm\sqrt{-3a^2+6a+1}}{2(a-1)}$ .

По условию , поэтому:

Решив записанную конструкцию выше имеем:

$a\in\left(\dfrac{12}{7};\;\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+1\right]$ .

Итого ответом будет:

$a\in\{1\}\cup\left(\dfrac{12}{7};\;\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+1\right]$

Достоинства подхода:

Решение "в лоб", особого ума, чтобы понять не надо.Требуются только шаблонные знания математики.Легко написать на компьютере.

Недостатки подхода:

Сложные расчеты, повышающие вероятность ошибки.Ограниченность применения.

Схематично-графический метод:

Заметим, что при a=1 уравнение становится линейным и имеет корень $x=\dfrac{1}{2}$ . Тогда такое значение параметра необходимо взять в ответ.

Дальнейшее решение выполним, когда $a\ne1$ :

Введем функцию f(x)=(a-1)x^2-(a+1)x+a . Тогда f(x) - это парабола.

Изобразим эскизы возможного расположения графика f(x) так, чтобы выполнялось условие задачи (я все делаю в единой системе координат, чтоб долго на компьютере не рисовать, вы разбейте на несколько; ситуации пронумерованы и выделены разным типом начертания).

(см. прикрепленный файл)

Опишем эти случаи на языке математики, при условии, что выполняются фразы $D\ge0$ и :

$\left\{\begin{array}{c}f(0)0\\f(3)0\\\end{array}\right;$ /или/ $\left\{\begin{array}{c}f(0)$

Выполним необходимые расчеты:

f(0)=a

f(3)=7a-12

D=-3a^2+6a+1

$x_0=\dfrac{a+1}{2a-2}$

Тогда на условии, что $a\in\left(\dfrac{4}{5};\;\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+1\right]$ (посчитано $D\ge0$ и ) системы примут вид:

$\left\{\begin{array}{c}a0\\7a-120\end{array}\right;$ /или/ $\left\{\begin{array}{c}a$

Решить их не составляет труда.

Объединив найденное, получаем, что $a\in\left(\dfrac{12}{7};\;\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+1\right]$ .

Обратимся к записанному выше и дополним ответ:

$a\in\{1\}\cup\left(\dfrac{12}{7};\;\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+1\right]$

Достоинства подхода:

Наглядное представление решения за счет создания схематичных изображений графиков.Простота вычислений.Понятность, обеспечивающая доступность понимания темы при наличии удовлетворительного уровня подготовки и желания учащегося.

Недостатки подхода:

Трудно написать на компьютере.

Задание выполнено!