При каких натуральных m неравенство |2n+4|+m > |3n-3|+|n-1| имеет ровно 2017 натуральных решений? если таких m несколько, то в ответе запишите их сумму.

Привет,ты пишешь из своего учебника  или был на олимпиаде. Такие задачи не дают в начальных классах.

Давайте рассмотрим неравенство по частям и найдем количество натуральных решений для каждого случая.

1) Пусть 2n+4 ≥ 0 и 3n-3 ≥ 0. В этом случае модули не влияют на неравенство и мы можем его упростить:

(2n+4) + m > (3n-3) + (n-1)
2n + 4 + m > 3n - 3 + n - 1
5 + m > 4n

Таким образом, неравенство имеет ровно одно натуральное решение при любом m ≥ 5.

2) Пусть 2n+4 ≥ 0 и 3n-3 < 0. В этом случае неравенство можно упростить следующим образом:

(2n+4) + m > - (3n-3) + (n-1)
2n + 4 + m > -3n + 3 + n - 1
-(2n + 3) + m > -2n + 2

Заметим, что -2n + 2 ≥ 0, так как n должно быть натуральным числом. Тогда:

-(2n + 3) + m ≥ 0
m ≥ 2n + 3

Таким образом, неравенство имеет бесконечное количество натуральных решений при любом m ≥ 2n + 3, где n - натуральное число.

3) Пусть 2n+4 < 0 и 3n-3 ≥ 0. В этом случае неравенство можно упростить следующим образом:

-(2n+4) + m > (3n-3) + (n-1)
-2n - 4 + m > 4n - 2
-(6n + 2) + m > 0
m > 6n + 2

Опять же, заметим, что 6n + 2 ≥ 0. Тогда:

m > 6n + 2

Таким образом, неравенство имеет бесконечное количество натуральных решений при любом m > 6n + 2, где n - натуральное число.

4) Пусть 2n+4 < 0 и 3n-3 < 0. В этом случае неравенство можно упростить следующим образом:

-(2n+4) + m > - (3n-3) + (n-1)
-2n - 4 + m > -3n + 3 + n - 1
-(5n + 2) + m > 2n + 2
m > 5n + 4

Таким образом, неравенство имеет бесконечное количество натуральных решений при любом m > 5n + 4, где n - натуральное число.

Теперь посчитаем количество натуральных решений для каждого случая и найдем сумму m:

1) Подходят все значения m ≥ 5, то есть бесконечное количество.
2) Подходят все значения m ≥ 2n + 3, где n - натуральное число. Данный набор значений m образует последовательность 5, 6, 7, 8, 9... и так далее, т.е. сколько угодно значений.
3) Подходят все значения m > 6n + 2, где n - натуральное число. Также бесконечное количество.
4) Подходят все значения m > 5n + 4, где n - натуральное число. Также бесконечное количество.

Суммируем все полученные m:

Сумма = 5 + (несконечность) + (несконечность) + (несконечность) = неопределенность

Таким образом, сумма m не может быть конечной и равной 2017.