При каких a неравенство 2> |x+a|+x^2 имеет хотя бы одно положительное решение? объясните, , как решать такого типа!

|x+a| + x² < 2

1) x+a ≥ 0

х ≥ -а

x + a + x² < 2

х² + х + (а - 2) < 0

Рассмотрим функцию: у = х² + х + (а - 2), её график - квадратная парабола веточками вверх. Следовательно, неравенство x + a + x² < 2 справедливо в интервале между корнями уравнения х² + х + (а - 2) = 0

D = 1 - 4· (а - 2) = 1 - 4a + 8 = 9 - 4a

Уравнение имеет решение, если D ≥ 0

9 - 4a ≥ 0

4a ≤ 9

a ≤ 2,25

При а = 2,25 парабола будет касаться оси х, и неравенство не будет справедливым, поэтому принимаем a < 2,25

Уравнение будет иметь положительное решение при -1 + √(9 - 4a) > 0

√(9 - 4a) > 1

(9 - 4a) > 1

4а < 8

а < 2

при этом х ≥ -а, т.е должно быть х ≥ -2

Действительно, если а = 0, тогда уравнение х² + х - 2 = 0 имеет дискриминат

D = 1 + 8 = 9 и корни х₁ = (-1+3):2 = 1 и х₂ = (-1-3):2 = -2

Получается, что между -2 и 1 неравенство х² + х - 2 < 0 будет справедливым.

И положительные корни есть.

2) x+a ≤ 0

х ≤ -а

-x - a + x² < 2

х² - х - (а + 2) < 0

Рассмотрим функцию: у = х² - х - (а + 2), её график - квадратная парабола веточками вверх. Следовательно, неравенство -x - a + x² < 2 справедливо в интервале между корнями уравнения  х² - х - (а + 2) = 0

D = 1 + 4· (а + 2) = 1 + 4a + 8 = 9 + 4a

Уравнение имеет решение, если D ≥ 0

9 + 4a ≥ 0

4a ≥ -9

a ≥ -2,25

При а = -2,25 парабола будет касаться оси х, и неравенство не будет справедливым, поэтому принимаем a > -2,25

Уравнение будет иметь положительное решение при 1 + √(9 + 4a) > 0

√(9 + 4a) > -1

естественно, что √(9 + 4a) > 0

(9 + 4a) > 0

4а > -9

а > -2,25

при этом х ≤ -а, т.е должно быть х ≤ 2,25

Действительно, если а = 0, тогда уравнение х² - х - 2 = 0 имеет дискриминат

D = 1 + 8 = 9 и корни х₁ = (1+3):2 = 2 и х₂ = (1-3):2 = -1

Получается, что между -1 и 2 неравенство х² - х - 2 < 0 будет справедливым.

Видно, что положительные корни есть.

1) при x+a ≥ 0 неравенство |x+a| + x² < 2 справедливо и имеет положительные корни при а < 2

2) при x+a ≤ 0 неравенство |x+a| + x² < 2 справедливо и имеет положительные корни при а > -2,25