Правильная треугольная призма abca1b1d1 . точка m лежит на ребре aa1. ab = 4. aa1 = 8. am=6. найти угол между плоскостями abc и bmc1. или сделайте рисунок

Плоскость АВС || плоскости A₁B₁C₁

Поэтому удобнее искать угол между ВМС₁  и A₁B₁C₁

Надо найти линию пересечения этих плоскостей.

Одна общая точка - точка С₁.

Прямые А₁В₁ и ВМ  лежат в пл. АА₁В₁В

Найдем их точку пересечения. Это точка К

Значит пл.  ВМС₁  и пл. A₁B₁C₁  пересекаются по прямой С₁К

Осталось провести к этой прямой перпендикуляры.  B₁F в пл. A₁B₁C₁

BF в пл. ВМС₁

tg∠B₁FB=BB₁/B₁F

Из подобия А₁КМ и В₁КВ

KA₁:KB₁=A₁M:B₁B

KA₁=4/3

Из треугольника КВ₁С₁  по теореме косинусов

KC₁²=((4/3)+4)^2+4^2-2·(4/3)+4)·4cos∠A₁B₁C₁=(16/3)^2+16-2·(16/3)·4·

1/2=(256/9)+(144/9)-(64/3)=(400-64*3)/9=208/9

KC₁=4√(13)/3

tg∠B₁FB=BB₁/B₁F=8:(4(13)/3)=(6√13)/13

О т в е т. ∠B₁FB= arctg(6√13)/13