Посчитать ln5 с точностью 0.001 , используя разложение в степенной ряд

Хорошо, давайте подробно рассмотрим задачу. Для того чтобы посчитать ln(5) с точностью 0.001, мы будем использовать разложение ln(x) в ряд Тейлора. Разложение ln(x) выглядит следующим образом: ln(x) = (x - 1) - (1/2)(x - 1)^2 + (1/3)(x - 1)^3 - (1/4)(x - 1)^4 + ... Сначала мы видим, что наш x равно 5. Поэтому мы будем использовать это значение. Теперь мы будем проходить по строчкам разложения, пока не достигнем необходимой точности. 1. Первый член (x - 1): ln(5) = (5 - 1) + ... 2. Второй член - (1/2)(x - 1)^2: ln(5) = (5 - 1) - (1/2)(5 - 1)^2 + ... У нас получается выражение: ln(5) = 4 - (1/2)(4)^2 + ... 3. Третий член - (1/3)(x - 1)^3: ln(5) = 4 - (1/2)(4)^2 + (1/3)(5 - 1)^3 + ... Выражение становится: ln(5) = 4 - (1/2)(4)^2 + (1/3)(4)^3 + ... 4. Четвертый член - (1/4)(x - 1)^4: ln(5) = 4 - (1/2)(4)^2 + (1/3)(4)^3 - (1/4)(5 - 1)^4 + ... И так далее... Количество членов, которые мы берем в разложении, зависит от требуемой точности. Чтобы достичь точности 0.001, обычно достаточно взять достаточное количество членов до тех пор, пока модуль следующего члена не станет меньше требуемой точности. Допустим, мы решили взять первые 5 членов в нашем разложении: ln(5) ≈ 4 - (1/2)(4)^2 + (1/3)(4)^3 - (1/4)(5 - 1)^4 + (1/5)(5 - 1)^5 Вычислим это выражение: ln(5) ≈ 4 - (1/2)(16) + (1/3)(64) - (1/4)(256) + (1/5)(256) ln(5) ≈ 4 - 8 + (64/3) - (64) + (256/5) ln(5) ≈ 1.386 Ответ: ln(5) ≈ 1.386 (с точностью до 0.001) В этом примере мы использовали первые 5 членов разложения в ряд Тейлора для достижения требуемой точности. Если мы хотим получить более высокую точность, мы можем продолжить добавлять члены в разложение до тех пор, пока не достигнем необходимой точности.