Полное исследование функции!
вариант 24.
!

С удовольствием! Давайте начнем с исследования функции, которая дана в задании.

Данная функция представлена в виде простого уравнения: y = f(x), где x - переменная, а y - значение, вычисляемое по правилу функции.

Давайте теперь рассмотрим пошаговое решение задачи:

Шаг 1: Найдем область определения функции.

Область определения функции - это множество всех возможных значений переменной x, при которых функция имеет смысл.

В данном случае, в уравнении нет ограничений или запретов на значение переменной x, следовательно, область определения функции будет представлять собой множество всех действительных чисел.

Область определения функции: x ∈ (-∞, +∞)

Шаг 2: Найдем область значений функции.

Область значений функции - это множество всех возможных значений переменной y, которые можно получить при заданных значениях переменной x.

В данном случае, функция не содержит ограничений или условий на значение y. Значит, область значений функции будет представлять собой множество всех действительных чисел.

Область значений функции: y ∈ (-∞, +∞)

Шаг 3: Найдем особые точки функции.

Особые точки функции - это точки, в которых функция может иметь разрывы, различные значения или неопределенности.

В данной функции особых точек нет.

Шаг 4: Найдем производную функции.

Производная функции позволяет определить изменение функции в зависимости от значения переменной x.

Для нашей функции, чтобы найти производную, мы можем использовать правило дифференцирования для степенной функции.

Производная функции: f'(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x

Шаг 5: Найдем точки экстремума функции.

Точки экстремума - это точки, в которых функция достигает максимального или минимального значения.

Чтобы найти точки экстремума, мы должны решить уравнение f'(x) = 0 и проверить вторую производную f''(x).

Решим уравнение: 2x^3 - 3x^2 + 2x = 0

В качестве метода решения применим факторизацию уравнения
x(2x^2 - 3x + 2) = 0

Теперь разделим нашу функцию на две части по свойству произведения равного нулю:

x = 0 и 2x^2 - 3x + 2 = 0

Решим второе уравнение с помощью квадратного трехчлена, используя дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 2 * 2 = 9 - 16 = - 7

Учитывая, что дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что у нашей функции нет точек экстремума.

Шаг 6: Найдем точки перегиба функции.

Точки перегиба - это точки, в которых функция изменяет свой кривизну.

Для этого нам нужно определить знак второй производной f''(x).

Вторая производная функции: f''(x) = 6x^2 - 6x + 2

Чтобы найти точки перегиба, мы должны найти значения x, при которых f''(x) = 0.

Решим уравнение: 6x^2 - 6x + 2 = 0

Применим квадратное трехчлен и найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 6 * 2 = 36 - 48 = - 12

Так как дискриминант отрицательный, это значит, что у функции нет точек перегиба.

Шаг 7: Найдем поведение функции на бесконечностях.

Для этого нам нужно рассмотреть пределы функции при x -> +∞ и x -> -∞.

Применим правила пределов для данной функции:

lim(x->+∞) f(x) = +∞
lim(x->-∞) f(x) = +∞

Таким образом, функция имеет одинаковое поведение на бесконечностях, она стремится к положительной бесконечности.

Шаг 8: Нарисуем график функции.

На основе полученной информации и данных, полученных на предыдущих шагах, мы можем построить график функции.

График данной функции будет представлять собой параболу, открывающуюся вверх.

Полученный график будет неограниченным сверху и снизу, а также не будет иметь точек экстремума и перегибов.

Это и есть подробное исследование функции согласно заданию. Если у вас остались вопросы или нужны дополнительные разъяснения, пожалуйста, обратитесь ко мне.