Подробное решение около окружности с центром в точке o описана равнобокая трапеция abcd с основаниями bc=4 и ad= 16 . через центр o и одну из вершин трапеции проведена прямая, отрезающая от трапеции треугольник. найти отношение площади треугольника к площади трапеции (два случая).

Случай 1. Биссектриса проведена из вершины тупого угла трапеции.

У трапеции, описанной около окружности, сумма боковых сторон равна сумме оснований.

Боковая сторона для равнобокой трапеции АВСД  равна:

АВ = (4+16)/2 = 20/2 = 10.

Высота Н трапеции равна:

Н = √(10²-(16-4)/2)²) = √(100-36) = √64 = 8.

Площадь S трапеции равна:

S = ((4+16)/2)*8 = 10*8 = 80.

Так как центр О окружности находится на середине высоты, проходящей через точку О, то точка Е находится на основании АД на расстоянии от высоты, равном половине верхнего основания.

Площадь треугольника АВЕ, отсекаемого от трапеции биссектрисой ВЕ, равна (1/2)*8*((16/2)+(4/2)) = 4*10 = 40.

Отношение равно 40/80 = 1/2.

2 случай - биссектриса АЕ проходит через вершину острого угла.

Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в  точке К.

Биссектриса АЕ будет и биссектрисой треугольника АКД.

Отрезок ВК находим из подобия треугольников:

ВК/(ВС/2) = АВ/6.  ВК = 2*10/6 = 10/3.

Сторона АК = 10 + (10/3) = 40/3.

Находим биссектрису АЕ. Но сначала находим косинус половины угла А.

AO = √(8² + 4²) = √)64 + 16) = √80 = 4√5.

cos (A/2) = 8/(4√5) = 2/√5 = 2√5/5.

Тогда АЕ = (2ab/(a+b))*cos(A/2) = (2*(40/3)*16)/((40/3)+16)*(2/√5)                                             = (1280/88)*(2√5/5) = 64√5/11.

Находим синус половины угла А:

sin(A/2) = √(1-(4/5)) = 1/√5 = √5/5.

Площадь треугольника АКД = (1/2)*АЕ*АД*sin(A/2) =

  = (1/2)*(64√5/11)*16*(√5/5) = 512/11.

Отношение площадей равно:

S(AED)/S(ABCD) = (512/11)/80 = 32/55.