Почему плюс на минус даёт минус?

​

Пошаговое объяснение:

Когда создавалось понятие отрицательных чисел, самой естественной моделью были денежные долги.

Скажем, у Корнея есть 3 рубля. Если он отдаст долг 2 рубля Пантелею, еще рубль останется: 3-2=1.

Аналогично: если теперь он отдаст долг 5 рублей еще и Еремею, то останется 1-5=-4 рубля. То есть остался у Корнея только долг в 4 рубля.

Здесь важно слово "Аналогично" -- так по аналогии вводился смысл вычитания из меньшего числа большего.

Применяя этот подход систематически, то обязательно получим 4-4=-4+4=0.

Если же Корней задолжал 4 рубля не только Еремею, но еще двум друзьям, то всего у него долгов -4*3=-12. Иначе говоря, чтобы умножение было осмысленным, "минус на плюс" должен давать "минус".

Этих принципов достаточно, чтобы вывести правило для "минус на минус".

Разумно устроить умножение на отрицательные числа так, что произведение любого числа и нуля дает ноль.

Например, -3*0=0. Заменим 0 на сумму отрицательного и положительного числа:

-3*(-4+4)=0.

А теперь применим распределительный закон (раскроем скобки):

(-3)*(-4)+(-3)*4 =0.

Здесь к произведению (-3)*(-4) прибавили отрицательное число (-3)*4 (отрицательное, потому что "минус на плюс" дает "минус".) Получается, это первое произведение должно быть положительным. Это и значит, что "минус на минус" дает "плюс".

Строгие рассуждения должны быть более общими, но принцип остается тот же: мы полагаем произведение двух отрицательных чисел положительным, чтобы сохранились все законы умножения и сложения, которые выполняются для положительных чисел.