Почему ни один из точных квадратов не оканчивается цифрой 2,3,7,8

Цифра, которой оканчивается число равна остатку этого числа при делении на 10. Точный квадрат целого числа - число неотрицательное, его (точный квадрат) можно представить как квадрат неотрицального числа.
Любое неотрицательное число x представимо в виде:

x = 10 * a + b, где b - цифра (целое число от 0 до 9), а число a ≥ 0.

Посмотрим, на что может оканчиваться число x²:
x²=100*a²+20*a*b+b²
Первые два слагаемых делятся на 10, поэтому оканчиваются на 0, а значит x² оканчивается на ту же цифру, на которую оканчивается b²

Иначе говоря, квадрат числа оканчивается на ту же цифру, на которую оканчивается квадрат последней цифры этого числа.
Переберем все цифры и тем самым найдем, на что может оканчиваться квадрат числа:
0²=0 - оканчивается на 0
1²=1 - оканчивается на 1
2²=4 - оканчивается на 4
3²=9 - оканчивается на 9
4²=16 - оканчивается на 6
5²=25 - оканчивается на 5
6²=36 - оканчивается на 6
7²=49 - оканчивается на 9
8²=64 - оканчивается на 4
9²=81 - оканчивается на 1

Отсюда видно, что точный квадрат не может оканчиваться на 2, 3, 7 и 8