По кругу выписаны в некотором порядке все натуральные числа от 1 до n (n ≥ 2) так, что у любых двух соседних чисел есть одинаковая цифра. найдите наименьшее возможное значение n.

ответ: 29.
Поскольку однозначные числа не имеют общих цифр, то N > 9.
А так как числа, соседние с числом 9, должны содержать девятку в своей записи, то меньшее из них не может быть меньше, чем 19, а большее — меньше, чем 29.
Следовательно, N ≥ 29.

Равенство N = 29 возможно, поскольку условиям задачи удовлетворяет, например, такой порядок расстановки чисел от 1 до 29 по кругу:
1, 11, 10, 20, 21, 12, 2, 22, 23, 3, 13, 14, 4, 24, 25, 5, 15, 16, 6, 26, 27, 7, 17, 18, 8, 28, 29, 9, 19.