По кругу стоят 2019 камней, на одном из которых сидит лягушка. лягушка умеет прыгать на 21 камня вперед по часовой стрелке и на 15 камней против часовой стрелке. сколько камней может посетить лягушка с учетом того камня, на котором она изначально сидит?

Ответы

oaoaoaoaoa 27.08.2020 11:26

Пусть прыжки по часовой стрелке обозначаются со знаком "плюс", а против часовой стрелке - со знаком "минус".

Найдем, какие более простые прыжки с точки зрения перемещения (то есть по модулю) можно совершить.

Изначально имеется два прыжка (+21) и (-15) Выполним их по очереди:

+21-15=+6

Итак, каким-то образом можно выполнить прыжок (+6).

Сгруппируем прыжки (+6) и (-15):

+6-15=-9

Таким образом, можно выполнить прыжок (-9).

Наконец, сгруппируем прыжки (+6) и (-9):

+6-9=-3

Также выполним прыжок (-3).

Получить прыжок с меньшим перемещением (кроме тривиально нулевого) невозможно.

Обратим внимание на то, что общее число каменей 2019, а также все рассмотренные прыжки кратны 3. Это означает, что при любом прыжке номер исходного и номер конечного камня дают одинаковые остатки при делении на 3.

Посетить все камни с номерами, дающими при делении на 3 один и тот же остаток, можно. У нас есть прыжок (-3).

Таким образом, мы посещаем либо все камни с номерами, кратными 3, либо все с номерами, дающими при делении на 3 остаток 1, либо все с номерами, дающими при делении на 3 остаток 2. И тех и других и третьих поровну в количестве $\dfrac{2019}{3}=673$ штуки.