По цели одиночно сбрасывают 5 бомб. Вероятность попадания в цель равна 0,95. Найти вероятность того, что в цель попадет менее 3-х бомб.

Пошаговое объяснение:

Пример 1. Произвели 7 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,705. Найти вероятность того, что при этом будет ровно 5 попаданий.

Получаем, что в задаче идет речь о повторных независимых испытаниях (выстрелах по мишени), всего производится n=7 выстрелов, вероятность попадания при каждом p=0,705, вероятность промаха q=1−p=1−0,705=0,295. Нужно найти, что будет ровно k=5 попаданий. Подставляем все в формулу (1) и получаем:

P7(5)=C57⋅0,7055⋅0,2952=21⋅0,7055⋅0,2952=0,318.

Пример 2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится четыре независимых выстрела. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание в мишень.

Изучаем задачу и выписываем параметры: n=4 (выстрела), p=0,4 (вероятность попадания), k≥1 (будет хотя бы одно попадание). Используем формулу для вероятности противоположного события (нет ни одного попадания):

P4(k≥1)=1−P4(k<1)=1−P4(0)=

=1−C04⋅0,40⋅0,64=1−0,64=1−0,13=0,87.

Вероятность попасть хотя бы один раз из четырех равна 0,87 или 87%.

Пример 3. Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,3. Найти вероятность того, что при 6 выстрелах мишень будет поражена от трех до шести раз.

В отличие от предыдущих задач, здесь нужно найти вероятность того, что число попаданий будет находится в некотором интервале (а не равно в точности какому-то числу). Но формула используется прежняя.

Найдем вероятность того, что мишень будет поражена от трех до шести раз, то есть будет или 3, или 4, или 5, или 6 попаданий. Данные вероятности вычислим по формуле (1):

P6(3)=C36⋅0,33⋅0,73=0,185.

P6(4)=C46⋅0,34⋅0,72=0,06.

P6(5)=C56⋅0,35⋅0,71=0,01.

P6(6)=C66⋅0,36⋅0,70=0,001.

Так как события несовместные, искомая вероятность может быть найдена по формуле сложения вероятностей:

P6(3≤k≤6)=P6(3)+P6(4)+P6(5)+P6(6)=

=0,185+0,06+0,01+0,001=0,256.

Пример 4. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Обозначим вероятность попадания в цель при одном выстреле. Введем событие:

A= (Из четырех выстрелов хотя бы один попадет в цель),

а также противоположное ему событие, которое можно записать как:

A¯¯¯¯= (Все 4 выстрела будут мимо цели, ни одного попадания).

Запишем формулу для вероятности события A. Выпишем известные значения: n=4, P(A)=0,9984. Подставляем в формулу (1) и получаем:

P(A)=1−P(A¯¯¯¯)=1−P4(0)=1−C04⋅p0⋅(1−p)4=1−(1−p)4=0,9984.

Решаем получившееся уравнение:

1−(1−p)4=0,9984,(1−p)4=0,0016,1−p=0,2,p=0,8.

Итак, вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8.

автор: vladislav.kuzukin √