Площадь фигуры ограниченной линиями(c графиком и решением ) y=2cosx, y=1, x=-п/3, x=п/3

Добрый день! Давайте рассмотрим задачу по нахождению площади фигуры, ограниченной линиями y=2cosx, y=1, x=-п/3, x=п/3.

Шаг 1: Нарисуем графики данных функций, чтобы понять, как выглядит фигура, ограниченная этими линиями.

На графике y=2cosx видим, что это график косинусной функции, которая принимает значения от -2 до 2. Также, учитывая условие сохранения фигуры в данной задаче, нас интересуют только значения графика функции y=2cosx, которые больше или равны единице: y ≥ 1.

Дополнительно, нам задано условие x=-п/3 и x=п/3, что означает, что фигура ограничена линиями x=-п/3 и x=п/3.

Теперь, давайте нарисуем эти графики на одной координатной плоскости.

*Вставить графики y=2cosx и y=1, а также вертикальные линии x=-п/3 и x=п/3*

Шаг 2: Так как нас интересует площадь фигуры между этими кривыми, мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти эту площадь. Формула для нахождения площади фигуры между двумя кривыми задается следующим образом:

Площадь = ∫ (верхняя функция - нижняя функция) * dx,

где верхняя функция - это верхняя граница фигуры, а нижняя функция - это нижняя граница фигуры.

Шаг 3: Определим верхнюю и нижнюю функции, чтобы использовать их в нашей формуле для нахождения площади.

Мы видим на графике, что верхняя функция для нас - это y=2cosx, а нижняя функция - это y=1.

Шаг 4: Подставим наши функции в формулу и решим определенный интеграл для нахождения площади фигуры.

Площадь = ∫ (2cosx - 1) * dx.

Давайте проинтегрируем данное выражение.

∫ (2cosx - 1) * dx = ∫ 2cosx * dx - ∫ 1 * dx.

Посмотрим на первое слагаемое ∫ 2cosx * dx:

∫ 2cosx * dx = 2 * ∫ cosx * dx.

Интеграл cosx равен sinx, поэтому:

∫ 2cosx * dx = 2 * sinx + C1.

Второе слагаемое ∫ 1 * dx равно x + C2.

Подставляем результаты в начальное выражение:

Площадь = 2 * sinx + x + C.

Шаг 5: Определение границ интегрирования.

У нас задано, что x принадлежит интервалу [-п/3, п/3].

Подставим границы в выражение для площади:

Площадь = 2 * sin(п/3) + п/3 - (2 * sin(-п/3) + (-п/3)).

Упрощаем это выражение:

Площадь = 2 * (√3/2) + п/3 - 2 * (-√3/2) - (-п/3).

Площадь = √3 + п/3 + 2 * √3/2 + п/3.

Площадь = 2√3 + 2п/3.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y=2cosx, y=1, x=-п/3, x=п/3, равна 2√3 + 2п/3.

Надеюсь, этот ответ был подробным и понятным для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!