Первый спортсмен начинает движение из пункта а в пункт в. одновременно с ним, держа в руке эстафетную палочку, из этого же пункта а стартует второй спортсмен и совершает челночный бег между пунктами а и в со скоростью, в 12 раз большей, чем скорость первого спортсмена (т.е., добежав до в, второй спортсмен тут же разворачивается и бежит в а, оттуда снова в b и т. при каждой встрече спортсмен, владеющий эстафетной палочкой, передает ее другому спортсмену. найти путь в метрах, который будет проделан эстафетной палочкой к тому моменту, когда первый спортсмен окажется в пункте в, если расстояние между пунктами а и в равно 169 метров.

После того, как палочка покинула пункт А, она туда уже не вернётся, а будет "бегать" между пунктом В и первым бегуном, пока он её не принесёт в В.
Разобьём забег на этапы. Нулевой этап - когда второй добегает в первый раз до В.
Этапы 1-6: палочка покидает В, попадает в руки в первому бегуну, затем снова второй её приносит в В. Путь, который палочка проделывает от В до рук первого бегуна равен сумме путей, которое она проделает с этого момента до возвращения в пункт В.
Для удобства расчётов примем расстояние от А до В за 1.
0 этап: второй пробежал 1. Первый пробежал 1/12. Расстояние между бегунами 11/12.
1 этап: второй выбегает навстречу первому. Так как его скорость в 12 раз больше первого, он будет пробегать 12/13 расстояния между бегунами. 11/12*12/13 = 11/13. То же расстояние палочка проделает с момента попадания в руки первого бегуна до момента возвращения её в В. Всего на этапе палочка проделает 22/13 пути.
Легко убедиться, что на каждом последующем этапе расстояние между бегунами будет сокращаться на 2/12. Соответственно, путь палочки будет сокращаться на 2*2/12*12/13 = 4/13.
Таким образом, путь палочки на каждом этапе можно задать формулой (1)

Тогда весь путь, проделанный палочкой (2):

Так как расстояние от А до В 169 м, палочка проделает путь 169*85/13 = 13*85 = 1105 метров.

P.S. Надеюсь, решение Вам понятно. Если есть вопросы по задаче, буду рад ответить.