Первая шестеренка состоит из 51 зубчиков, а вторая из 34 зубчиков. Через сколько вращений
большой шестеренки обе шестеренки встанут в
первоначальное положение?

Пусть  - это наименьшее число вращений первой шестеренки с 51 зубчиками;

а    - это наименьшее число вращений второй шестеренки с 34 зубчиками.  

и - натуральные числа (х,у ∈ N)  

До первоначального положения

первая шестеренка прокрутит   зубчиков,

а вторая прокрутит    зубчиков.  

Получаем уравнение:

Так как -  натуральное число, значит, дробь  должна быть  натуральным числом, но это возможно если значения будут кратны 3, т.е.   при = 3; 6 ; 9; 12; ...

Нам нужно минимальное значение!

При      

ответ: через 2 вращения большой шестеренки обе шестеренки встанут в первоначальное положение.