Периметр равнобедренного треугольника равен 12. каковы должны быть его стороны, чтобы объем конуса, полученного вращением этого треугольника вокруг своей высоты, был наибольшим?

Пусть r - радиус основания конуса, тогда основание тр-ка 2r, боковая сторона (12-2r)/2=6-r (поэтому r может меняться от 0 до 6),
а высота по Пифагору h=sqrt(6^2-12r).
Объем конуса V( r)=(1/3)*6i*r^2*sqrt(6^2-12r).
Искать максимум этой функции при r из [0,p].
Проще искать максимум квадрата объема (там нет корней)
[V( r)]^2=(1/9)*6i^2*r^4*(6^2-12r).
Максимум все равно будет достигаться на одном и том же r.
Производная от V^2:
(1/9)*6i^2*6*(4*6*r^3-10*r^4)=0
2 корня из нужного интервала:
r=0 и r=2*6/5=2 целых 2/5
Легко видеть, что максимум - второй корень.

от себя: Задача по геометрии. Пишите их в раздел по геометрии а не сюда