Отрезок пересекает плоскость, концы его находятся от плоскости на расстоянии 3см и 8см найти расстояние от середины отрезка до плоскости

MP = 2,5 см

Пошаговое объяснение:

Дано: AF ⊥ α, BK ⊥ α, AM = BM, MP⊥ α, AF = 3 см, BK = 8 см

Найти: MP - ?

Решение: Пусть AB ∩ α = C. Докажем, что точки F, C, K - лежат на одной прямой. Так как точки F,K ∈ α, то прямая FK ∈ α по аксиоме стереометрии и так как по условию AF ⊥ α и BK ⊥ α, то

, тогда по следствию из аксиомы через параллельные прямые AF и BK можно провести плоскость, и притом только одну. Через параллельные прямые AF и BK проведем плоскость β. По аксиоме стереометрии плоскости пересекаются по прямой если имеют общую точку. Так как A,B ∈ β и C ∈ AB, то C ∈ β. Так как F, K, C ∈ α и F, K, C ∈ β , а плоскости пересекаются по прямой, то точки F,K,C лежат на одной прямой. Угол ∠FCA = ∠BCK как вертикальные углы, тогда так как AF ⊥ FK и BK ⊥ FK, то ∠AFC = ∠BKF = 90°, следовательно треугольник ΔFCA подобен треугольнику ΔBCK по двум углам, из подобия треугольников следует, что . Введем коэффициент пропорциональности x, тогда AC = 3x, BC = 8x. AB = AC + BC = 3x + 8x = 11x. Так как по условию AM = MB и AM + MB = AB, то  AM = MB = AB : 2 = 11x : 2 = 5,5x. AB = AC + CM + MB ⇒ CM = AB - AC - MB = 11x - 3x - 5,5x = 2,5x.Треугольник ΔCMP подобен треугольнику ΔBCK по двум углам так как ∠BCK - общий, так как по условию MP⊥ α, то ∠MPC = 90° и тогда ∠MPC = ∠BKC = 90°. Из подобия треугольника ΔCMP треугольнику ΔBCK следует, что см.