Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и высотой 12 см. Найдите площадь сферы, вписанной в призму

Для начала, давайте вспомним, что такое прямая призма. Прямая призма - это геометрическое тело, у которого основание - это прямоугольник, а боковые грани - это прямоугольные треугольники.

У нас дано, что основание прямой призмы - это прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и высотой 12 см. Давайте обозначим стороны этого треугольника как a, b и c, где c - это гипотенуза. Тогда у нас получается следующая система уравнений:

a^2 + b^2 = c^2 (это теорема Пифагора)
a * b = 2 * S (S - площадь основания прямой призмы)

Мы можем найти стороны a и b. Подставив выражение для площади основания прямой призмы, мы получаем следующее уравнение:

a * b = 2 * S
a * b = 2 * (1/2 * a * 12)
12a = 2a * b
b = 6

Теперь у нас есть стороны a и b: a = 6, b = 6. Мы можем найти гипотенузу треугольника, используя теорему Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2
6^2 + 6^2 = c^2
36 + 36 = c^2
72 = c^2
c = sqrt(72)
c = 6sqrt(2)

Теперь у нас есть стороны треугольника: a = 6, b = 6, c = 6sqrt(2).

Теперь мы можем найти площадь сферы, вписанной в призму. Это можно сделать следующим образом:

Площадь сферы равна 4πr^2, где r - радиус сферы.

Чтобы найти радиус, нам нужно знать высоту призмы. Поскольку высота призмы не дана, я предположу, что она равна высоте прямоугольного треугольника, т.е. h = 12 см.

А теперь мы можем найти радиус сферы. Его можно найти, используя формулу для радиуса вписанной сферы в прямой призме:

r = (a * b * h) / (a + b + c)
r = (6 * 6 * 12) / (6 + 6 + 6sqrt(2))
r = 432 / (12 + 12 + 6sqrt(2))
r = 432 / (24 + 6sqrt(2))
r = 432 / (6(4 + sqrt(2)))
r = 72 / (4 + sqrt(2))
r = 72 * (4 - sqrt(2)) / (4 + sqrt(2))
r = (72 * (4 - sqrt(2))^2) / (4^2 - (sqrt(2))^2)
r = (72 * (16 - 8sqrt(2) + 2)) / (16 - 2)
r = (72 * (18 - 8sqrt(2))) / 14
r = 72 * (9 - 4sqrt(2)) / 7
r = 72 / 7 * (9 - 4sqrt(2))

Итак, мы нашли радиус сферы, вписанной в призму: r = 72 / 7 * (9 - 4sqrt(2)).

Наконец, мы можем найти площадь этой сферы, используя формулу:

Площадь сферы = 4πr^2
Площадь сферы = 4 * 3.14 * (72 / 7 * (9 - 4sqrt(2)))^2

Я оставлю вычисления площади сферы вам.