Основа равнобедренного треугольника равна 10см , а боковая сторона равна 13см . найти высоту треугольника , проведеную к боковой стороне. основа рівнобедреного трикутника дорівнює 10см , а бічна сторона дорівнює 13. обчислити висоту трикутника , проведену до бічної сторони если можно , с объяснением , .

Ответы

Kazybek2005 03.10.2020 13:13

Проведем к основанию

равнобедренного треугольника $\triangle ABC$ медиану

(так как она медиана, то проходит из вершины

в серидину

и делит

пополам). Существует свойство, что медиана равнобедренного треугольника (а $\triangle ABC$ по условию равнобедренный), проведенная к основанию также является и высотой. Отсюда $\angle AMB = 90^{\circ}$ .
Рассмотрим теперь $\triangle AMB$ , он прямоугольный, как мы только что выяснили, один из его катетов нам известен — $AM = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ .
Найдем второй катет по теореме Пифагора:
$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{144}=12$
Отлично. Теперь найдем $sin \angle A$ , это очень пригодится нам в дальнейшем. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае противолежащий углу $\angle A$ катет —

, а гипотенуза —

. Тогда $sin \angle A$ найдем как:
$\sin \angle A = \frac{BM}{AB} = \frac{12}{13}$ .
Отлично! Все построения, описанные до этого момента вы можете увидеть на первом рисунке (он приложен к ответу, его можно найти в самом низу).
==========
Теперь построим ту ситуацию, которая описана в задаче. Увидеть эти построения вы можете на втором рисунке.
Рассмотрим $\triangle AHC$ . Он прямоугольный, так как

— высота по условию. Известна гипотенуза

, необходимо найти катет

.
Вот здесь нам и понадобится $sin \angle A$ . Напомню, что $\triangle ABC$ — равнобедренный, а значит углы при основании равны ( $\angle A = \angle C$ ), а значит и их синусы тоже равны! То есть $\sin \angle C = \sin \angle A = \frac{12}{13}$ . Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В $\triangle AHC$ противолежащий углу $\angle C$ катет —

, а гипотенуза

. Отсюда:
$\sin \angle C = \frac{AH}{AC}$
Также нам известно, что $\sin \angle C = \frac{12}{13}$
Отсюда:
$\frac{12}{13} = \frac{AH}{AC}$
Отсюда выразим искомый катет

:
$AH = \frac{12}{13}*AC$
$AC = 10 \\ 
AH = \frac{120}{13} \approx 9.23$
Это ответ.

Основа равнобедренного треугольника равна 10см , а боковая сторона равна 13см . найти высоту треугол