Определите взаимное расположение прямой и плоскости: А) x = –1 + 2t, y = 3 + 4t, z = 3t и 2x – 2y + z – 5 = 0

Для определения взаимного расположения прямой и плоскости необходимо найти точку их пересечения. Если такая точка существует, значит прямая лежит в плоскости, иначе прямая и плоскость пересекаются по одной точке или не пересекаются вовсе. Для начала, рассмотрим систему уравнений: x = -1 + 2t (1) y = 3 + 4t (2) z = 3t (3) 2x - 2y + z - 5 = 0 (4) Заметим, что уравнение (4) описывает плоскость, а уравнения (1), (2) и (3) описывают прямую в пространстве. Теперь для определения взаимного расположения прямой и плоскости найдем точку их пересечения. Для этого подставим уравнения прямой (1), (2) и (3) в уравнение плоскости (4). Подставим значения x, y и z из уравнений прямой в уравнение плоскости: 2(-1 + 2t) - 2(3 + 4t) + (3t) - 5 = 0 Упростим это уравнение: -2 + 4t - 6 - 8t + 3t - 5 = 0 -5t - 13 = 0 -5t = 13 t = -13/5 Теперь найдем значения x, y и z при t = -13/5: x = -1 + 2(-13/5) = -1 - 26/5 = -31/5 y = 3 + 4(-13/5) = 3 - 52/5 = -37/5 z = 3(-13/5) = -39/5 Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты x = -31/5, y = -37/5 и z = -39/5. Теперь определим, находится ли эта точка на прямой или вне ее. Для этого подставим найденные значения x, y и z в уравнения прямой (1), (2) и (3). Подставим x = -31/5, y = -37/5 и z = -39/5 в уравнения прямой: -31/5 = -1 + 2t -37/5 = 3 + 4t -39/5 = 3t Первое и второе уравнения прямой не выполняются для найденной точки пересечения. Таким образом, данная точка не принадлежит прямой, а значит прямая и плоскость не пересекаются. Вывод: Взаимное расположение прямой и плоскости заключается в том, что они не пересекаются.